עוצמת הרצף – הבדלי גרסאות

 

רעיון [[האלכסון של קנטור]] מאפשר ל[[הוכחה|הוכיח]] שהמספרים הממשיים אינם [[קבוצה בת מנייה|בני מנייה]], כלומר שעוצמת הרצף גדולה מ[[אלף 0|עוצמת המספרים הטבעיים]] (המסומנת <math>\!\ \aleph_0</math>). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת [[קבוצת החזקה]] של המספרים הטבעיים, כלומר <math>\!\, \aleph=2^{\aleph_0}</math>.

 

אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]] הוכיח [[קורט גדל]], בשנת [[1940]], שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של תורת הקבוצות (אקסיומות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]). בשנת [[1963]] הוכיח המתמטיקאי [[פול כהן]] שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל [[משפט אי השלמות של גדל]], כלומר אי אפשר ל[[הוכחה|הוכיחה]] ואי אפשר ל[[הפרכה|הפריכה]], ולכן ה[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקביות]] של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.