הפרדוקס של ראסל – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שינוי סדר פסקאות
שורה 11:
אם X היא קבוצה קטנה, אזי, לפי ההגדרה של קבוצה קטנה, X איננה איבר של עצמה. אך אם היא קטנה, אזי, לפי ההגדרה של X, היא כוללת את עצמה, ולכן X גדולה. מצד שני, אם X גדולה, אזי היא כוללת את עצמה, לפי ההגדרה של קבוצה גדולה; אבל, כמו כל איבר ב-X, היא מוכרחה להיות קבוצה קטנה, לפי ההגדרה של X. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במלים אחרות, הנחות היסוד שלפיהן X היא קבוצה, מראות שהמושג 'קבוצה גדולה' מכיל סתירה מובנית ([[אנטינומיה]]).
 
==גישות לפתרון הפרדוקס==
== הסבר אינטואיטיבי ==
 
דרך אינטואיטיבית להסבר הפרדוקס של ראסל היא ע"י הסיפור על '''ה[[ספרן]] הקפדן''': ספרן העובר בין מדפי ספרייתו, מגלה יום אחד קובץ [[קטלוג]]ים. יש שם קטלוגים נפרדים לשירה, נובלות וביוגרפיות וכו'. הספרן שם לב שחלק מן הקטלוגים כוללים את עצמם וחלק לא. כדי לפשט את העניין עוד יותר, מחליט הספרן להכין שני קטלוגים נוספים: האחד הוא קטלוג שיכיל בתוכו את רשימת כל הקטלוגים שמכלילים את עצמם ועוד קטלוג של קטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם. כעת נשאלת השאלה האם הקטלוג של רשימת הקטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם צריך להכליל את עצמו? <br>
אם הוא מצויין בקטלוג הרי שלפי ההגדרה הוא צריך ש'''לא''' להיות מצויין. אם הוא אינו מצויין הרי שלפי ההגדרה הוא '''כן''' צריך להיות מצויין. הספרן מוצא את עצמו במצב שאין לו פתרון.
 
 
הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בניה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת ה[[טיפוס (לוגיקה מתמטית)|טיפוסים]].
 
שורה 22 ⟵ 17:
 
רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח ש[[קבוצת החזקה]] של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט שהוכיח קנטור]]. לפרטים, ראו [[עוצמה]].
 
== הסבר אינטואיטיבי לפרדוקס ==
דרך אינטואיטיבית להסבר הפרדוקס של ראסל היא ע"י הסיפור על '''ה[[ספרן]] הקפדן''': ספרן העובר בין מדפי ספרייתו, מגלה יום אחד קובץ [[קטלוג]]ים. יש שם קטלוגים נפרדים לשירה, נובלות וביוגרפיות וכו'. הספרן שם לב שחלק מן הקטלוגים כוללים את עצמם וחלק לא. כדי לפשט את העניין עוד יותר, מחליט הספרן להכין שני קטלוגים נוספים: האחד הוא קטלוג שיכיל בתוכו את רשימת כל הקטלוגים שמכלילים את עצמם ועוד קטלוג של קטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם. כעת נשאלת השאלה האם הקטלוג של רשימת הקטלוגים ש'''אינם''' מכלילים את עצמם צריך להכליל את עצמו? <br>
אם הוא מצויין בקטלוג הרי שלפי ההגדרה הוא צריך ש'''לא''' להיות מצויין. אם הוא אינו מצויין הרי שלפי ההגדרה הוא '''כן''' צריך להיות מצויין. הספרן מוצא את עצמו במצב שאין לו פתרון.
 
==ראו גם==