משפט לינדמן-ויירשטראס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 17:
ההוכחה כי <math>\ \pi</math> מספר טרנסצנדנטי נובעת בקלות ממשפט לינדמן-ויירשטראס. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\ \pi</math> אלגברי. [[היחידה המדומה]] <math>\ i</math> אלגברי ולכן גם <math>\ i\pi</math> אלגברי ([[שדה המספרים האלגבריים]] [[סגירות (אלגברה)|סגור]] תחת [[כפל]]). לפי [[זהות אוילר]] <math>\ e^{i\pi}=-1</math> ולכן לפי משפט לינדמן-ויירשטראס נקבל את התוצאה המגוחכת כי <math>\ -1</math> טרנסצנדנטי. לכן ההנחה שגויה ו-<math>\ \pi</math> טרנסצנדנטי.
הכללה של ההוכחה תוכיח כי ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] מחזירות ערכים טרנסצנדנטיים כאשר הן מופעלות על ערכים אלגבריים שונים מאפס. <math>\ \cos x</math> אלגברי אם ורק אם <math>\ \sin x</math> אלגברי (כי <math>\ \sin x = \pm\sqrt{1-\cos^2 x}</math>): יהי <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאפס, נניח בשלילה כי <math>\ \cos {\alpha}, \sin {\alpha}</math> אלגבריים אז לפי [[נוסחת אוילר]] <math>\ e^{i \alpha} = \cos{\alpha} + i \sin{\alpha} </math> אלגברי בסתירה למשפט לינדמן-ויירשטראס. תוצאה דומה תקפה לפונקציית
גם [[הלוגריתם הטבעי]] <math>\ \ln x</math> טרנסצנדנטי לכל <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאחד ואפס. אחרת <math>\ e^{\ln {\alpha}}=\alpha</math> סותר את המשפט.
| |||