מרחב מכפלה פנימית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (r2.7.1) (בוט מוסיף: ca:Espai prehilbertià)
אין תקציר עריכה
:<math>\langle x,x\rangle =\overline{\langle x,x\rangle}</math> פירושו כי <math>\langle x,x\rangle</math> הוא מספר ממשי.
 
* הלינאריותהאדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד - כאשר מוציאים סקלר מהמכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
:<math>\langle x,\lambda y\rangle =\overline{\lambda}\langle x,y\rangle</math>
 
*מהלינאריותמהאדיטיביות נובע כי תמיד מתקיים: <math>\langle 0,0\rangle = 0</math>
 
המרחב <math>\, V</math> בתוספת מכפלה פנימית ייקרא '''מרחב מכפלה פנימית'''.
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math> . אם נחליף את <math>\ I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>\ A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית.
* במרחב כל ה[[אינטגרל|פונקציות האינטגרביליות]] בריבוע ב[[אינטגרל לבג|מובן לבג]] בתחום <math>\,I</math>, שמסומן <math>\ L^2(I)</math>, המכפלה הפנימית היא <math> \lang f , g \rang = \int_I{ f(x) \ \overline{g(x)} \ dx } </math>. מכפלה זו הופכת את המרחב ל[[מרחב הילברט]], לפי משפט ריז-פישר.
* ב[[סימון דיראק]], המכפלה הפנימית היא של "ברה" ו"קט" ופירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא לינאריתהומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי: <math>\ \lang a \phi | b \psi \rang = a^* b \lang \phi | \psi \rang</math>.
 
 
משתמש אלמוני