מספר משולשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 58:
==תכונות==
מספרים משולשיים הם מקרה פרטי של [[מספר מצולע|מספרים מצולעים]] – מספרים שניתן לסדרם בצורת [[מצולע משוכלל]]. ההפרש בין המספר המצולע ה-n-י מסדר s (זה המתאים למצולע עם s צלעות) למספר המצולע ה-n-י מסדר s-1 הוא המספר המשולשי <math>\ T_{n-1}</math>. הזהות <math>\ n^2-T_n = T_{n-1}</math> היא מקרה פרטי של הזהות הכללית.
לפי הנוסחה למספרים משולשיים, לכל מספר משולשי <math>\ T_n</math> מתקיים ש-<math>\ 8T_n+1 = (2n+1)^2</math> הוא [[מספר ריבועי]]. גם ההיפך נכון. אם <math>\ 0<k</math> והמספר <math>\ 8k+1</math> הוא מספר ריבועי, אז k הוא מספר משולשי. זאת משום ש-<math>\ 8k+1</math> אי-זוגי, ולכן השורש שלו אי-זוגי, ומכאן שקיים n כך ש-<math>\ 8k+1 = (2n+1)^2 = 8T_n+1</math>. יש אינסוף מספרים משולשיים שהם גם ריבועים, ואלו נקראים [[מספר משולשי ריבועי|מספרים משולשיים ריבועיים]]. הדוגמה הקטנה ביותר, מלבד 1, היא [[36 (מספר)|36]].
שורה 64:
סכום n המספרים המשולשיים הראשונים נקרא ה[[מספר ארבעוני|מספר הארבעוני]] ה-n-י, שכן ניתן לסדר את המשולשים במרחב התלת ממדי זה על גבי זה כך שנוצר [[ארבעון]] ([[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] משולשת). ישנה נוסחה מפורשת למספרים ארבעוניים:
:<math>\ T_1+T_2+\ldots+T_n = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}</math>
לפי [[משפט ניקומאכוס]] מתקיימת הזהות המפתיעה:
:<math>\ 1^3+2^3+\ldots+n^3 = T_n^2 = (1+2+\ldots+n)^2</math>
כל [[מספר משוכלל]] זוגי הוא מספר משולשי. [[אוילר]] הוכיח כי כל מספר משוכלל זוגי הוא מהצורה <math>\ T_{M_p} = \frac{M_p(M_p+1)}2 = 2^{p-1}(2^p-1)</math>, כאשר <math>\ M_p</math> הוא [[מספר מרסן ראשוני]].
ב[[משולש פסקל]] כל המספרים המשולשיים מופיעים באלכסון השלישי (מימין ומשמאל). תכונה זו נובעת מההצגה של המספרים המשולשיים כמקדמים בינומיים.
==הצגת מספר כסכום של מספרים משולשיים==
שורה 77 ⟵ 82:
וקיבלנו את ההצגה המבוקשת. במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא <math>\ T_0 = 0</math>, ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.
[[משפט המספרים המצולעים]] שהוכיח [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]] ב-[[1813]] הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה. המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
| |||