מכניקה אנליטית – הבדלי גרסאות

פורמליזם הלגרנז'יאן אשר פיתח לגרנז' עושה שימוש בקוארדינטות מוכללות ובכוחות מוכללים ומאפשר פיתרון בעיות פיזיקליות שבמכניקה הניוטונית נחשבות קשות. אחת הדוגמאות לבעיות כאלו היא בעיות של תנועה תחת אילוצים: תנועה לאורך ישר נתון, תנועה מובלתמוגבלת למישור, ועוד. הפורמליזם הלגרנז'יאני מציג את הבעיה הפיזיקלית כסט של [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]] מסדר שני, הנקראות [[משוואת אוילר לגראנז'|משוואות אוילר לגרנזלגראנז']].

הפורמליזם ההמילטוני מגדיר את [[פונקצית ההמילטוניאן]] ואת הבעיה הפיזיקלית כסט של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במרחב הפאזה. הפורמליזם ההמילטוני כקודמו הלגרנז'יאני אינו מכיל תוכן פיזיקלי חדש ואף לא תורם לפיתרון פשוט יותר של בעיות פיזיקליות. כוחו של הפורמליזם הוא במציאת אינטואיציות פיזיקליות חדשות ואף שימש להכללה של הפיזיקה הקלאסית אל [[פיזיקה קוונטית|הפיזיקה הקוונטית]].

פורמליזם המילטון ג'ייקובי מתבסס על הפורמליזם ההמילטוני ומציג את הבעיה כמשוואה דיפרנציאלית חלקית. לפורמליזם זה דמיון רב למכניקתל[[מכניקת הקוונטים]] ומהווה בסיס לפורמליזם אינטגרלי דרך במכניקה קוונטית שהומצא על ידי [[ריצ'רד פיינמן]].

במסגרת המכניקה האנליטית מתארים את הבעיה לא בהסתכלות על הגוף הנע, אלא בהגדרת [[קואורדינטות מוכללות]] <math>\ q_i </math> מתאימות לבעיה, וזיהוי משתני ה[[תנע]] הצמודים אליהן, <math>\ p_i</math>. ככל שישנם יותר אילוצים בבעיה, כך מצטמצם מספר הקואורדינטות הנדרש כדי לתאר אותה. כך, למשל, גוף הנע במישור דורש שתי קואורדינטות לעומת שלוש קואורדינטות במרחב תלת-ממדי. באופן דומה, את תנועתה של [[רכבת הרים]] בלונה פארק, למרות היותה במרחב תלת-ממדי, ניתן לתאר בעזרת קואורדינטה בודדת, שהיא לדוגמה המרחק שהרכבת עברה על המסילה עצמה),.