משפט פיוצ'רמה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 9:
 
==רקע פורמלי==
העצם המתמטי המייצג שינוי סדר נקרא '''[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]]'''. תמורות נהוג לסמן בשתי שורות; בשורה העליונה יופיעו העצמים בסדר כלשהו ובשורה בתחתונה מתחת לכל עצם בשורה העליונה יופיע המקום החדש שלו. במקרה שלנו, השורה העליונה תייצג ת התודעות של הדמויות, ובשורהוהשורה התחתונה יופיעואת הגופים של הדמויות. כאשרכל תודעה מצויה ישירות מעל גוףלגוף המשמעות היא שתודעה זושהיא מצויה בגוף זהבו.
 
למשל אם נסמן את איימי ב-A, את הפרופסור ב-P ואת בנדר ב-B, המצב אליו נקלעו השלושה בתחילת הפרק יסומן: <math>\begin{pmatrix} A & P & B \\ P & B & A \end{pmatrix} </math>.
 
כאשר תמורה היא החלפה בין שני עצמים (במקרה שלנו גופים) בלבד היא נקראת '''חילוף''' והיא מסומנת בקיצור בתור שני העצמים המוחלפים בסוגריים, <math>(121,2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math>.
 
באופן כללי יותר כאשר תמורה מעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-3, את 3 ל-4, וכן הלאה עד שהעצם האחרון n עובר חזרה ל-1, נקראת '''מעגל''' וסימונה: <math>\ (121,2,\ldots ,n) = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & 1\end{pmatrix}</math>. המספר n נקרא אורך המעגל.
 
התמורה שלא משנה כלום (במקרה שלנו, כל תודעה בגוף שלה) נקראת '''תמורת הזהות'''.
 
כאשר מפעילים תמורה אחת ולאחריה תמורה אחרת הפעולה נקראת '''הרכבה''' או '''כפל''' של תמורות, ומסמנים אותה בכתיבתם בזה אחרי זה. למשל ניתן לתאר את המצב אליו נקלעו בתחילת הפרק כהרכבה של שתי ההחלפות שבוצעו: <math>(A,P)(A,B) = \begin{pmatrix} A & P & B \\ P & B & A \end{pmatrix}</math>.
 
==הוכחה==
להלן ההוכחה למשפט שהוצגה במהלך הפרק בשינויים קלים.
 
תחילה נטפל במקרה של מעגל. יהי <math>\pi</math> מעגל באורך k (שהוא 2 לפחות):
:<math>\pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & k \\ 2 & 3 & \cdots & 1\end{pmatrix}</math>
 
המעגל התקבל כהרכבה של חילופים כלשהם. נוסיף שני "גופים חדשים", x ו-y ונרשום את התמורה המייצגת את המצב הנוכחי:
:<math>\pi^* = \begin{pmatrix}1 & 2 & \cdots & k & x & y \\ 2 & 3 & \cdots & 1 & x & y\end{pmatrix}</math>
 
נבחר <math>1\le i < k</math> ונגדיר תמורה <math>\sigma</math> כהרכבה של חילופים:
:<math>\sigma = (x,1)(x,2)\cdots(x,i)(y,i+1)\cdots(y,k)(x,i+1)(y,1)</math>