מספר משולשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוכחה ידידותית יותר |
|||
שורה 5:
==נוסחה מפורשת==
ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: <math>\ T_n = \frac{n(n+1)}2</math>. אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות. הנוסחה
===סכום סדרה חשבונית===
הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום [[סדרה חשבונית]]. <math>\ T_n</math> הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:
:<math>\ T_n = 1+2+3+\ldots+n =
אגדה ידועה מספרת שכאשר [[גאוס]] היה בן 7, הטיל עליו מורהו את המטלה לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 (כלומר לחשב את <math>\ T_{100}</math>). תוך שניות מעטות הדהים גאוס את המורה והגיע לתשובה, 5050. גאוס הבין כי ניתן לסדר את המספרים בזוגות: 1+100, 2+99, 3+98... וכן הלאה, כך שישנם <math>\ \tfrac{100}2</math> זוגות שסכומם 101. כלומר:
שורה 20:
:<math>\ n+(n-1)+\ldots+2+1+0 = T_n</math>
מצד שני ישנה דרך אחרת לספור את מספר הזוגות האפשריים. נבחר עצם כלשהו (יש n+1 אפשרויות לעשות זאת) ונוציאו מהקבוצה, ואז נבחר לו עצם שני כבן זוג (יש n דרכים לעשות זאת). סך הכל, לפי [[עקרון הכפל]], ישנן <math>n(n+1)</math> דרכים לבחור שני עצמים בדרך זו. עם זאת נשים לב כי בשיטה זו ספרנו בנפרד את המקרה בו בוחרים קודם עצם a ואז עצם b, ואת המקרה בו בוחרים קודם את b ואז את a. לכן קיבלנו כל זוג אפשרי פעמיים ועלינו לחלק ב-2. נקבל בסך הכל שמספר הדרכים לבחור זוגות הוא <math>\frac{n(n+1)}2</math>.
מצד שני ידועה לנו דרך אחרת לספור את מספר הזוגות האפשריים. תוצאה בסיסית ב[[קומבינטוריקה]] קובעת שמספר הדרכים לבחור k עצמים מתוך קבוצה של m עצמים נתונה על ידי ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]] <math> \tbinom mk </math> (הוכחה לכך נתונה [[מקדם בינומי#הגדרה מתמטית|כאן]]). ובפרט מספר הדרכים לבחור זוגות מתוך קבוצה של n+1 איברים היא <math> \tbinom {n+1}2 </math>.▼
מכיוון ששתי הדרכים לספור את הזוגות צריכות לתת תוצאה זהה, קיבלנו שוויון בין
:<math>\ T_n = \frac{n(n+1)}2</math>
▲
לכן כל מספר משולשי שווה למקדם הבינומי הנ"ל. בעזרת הנוסחה לחישוב מקדם בינומי נקבל את הנוסחה למספר משולשי:
:<math>\ T_n = \binom {n+1}2 = \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = \frac{n(n+1)}2</math>
שורה 32 ⟵ 37:
|<math>\ T_4+T_3 = 4^2</math>{{ש}}<center><big>=</big></center>
<math>\ 10+6 = 16</math>
|[[
|
|<math>\ T_5+T_4 = 5^2</math>{{ש}}<center><big>=</big></center>
<math>\ 15+10 = 25</math>
|[[
|}
שורה 85 ⟵ 90:
ב-[[10 ביולי]] [[1796]] [[גאוס]] הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות. הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "[[אאורקה|ΕΥΡΗΚA!]] ∆ + ∆ + ∆ = num".
תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו [[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] (ב-[[1798]]) וגאוס עצמו (ב-[[1801]]) – [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'#משפטים דומים|כל מספר שאינו מהצורה <math>\ 4^k(8m+7)</math> הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות]].
נציג את <math>\ n</math> כסכום של שלושה מספרים משולשיים. ראשית נבחין כי <math>\ 8n+3</math> אינו מהצורה הבעייתית, כי <math> 4^k(8m+7) \equiv 0, 4, 7 \not\equiv 3 \pmod8</math>. נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים <math>\ 8n+3 = a^2+b^2+c^2</math> (חלקם אולי 0). נבחן את השוויון [[חשבון מודולרי|מודולו 4]]. 0 ו-1 הם ה[[שארית ריבועית|שאריות הריבועיות]] מודולו 4, כלומר <math>\ x^2 \equiv 0, 1 \pmod4</math>. מצד שני <math>\ a^2+b^2+c^2 = 8n+3 \equiv 3 \pmod4</math>. לכן בהכרח <math>\ a^2 \equiv b^2 \equiv c^2 \equiv 1 \pmod4</math>. כלומר <math>\ a, b, c</math> כולם אי-זוגיים. לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים <math>\ i, j, k</math> כך ש-<math>\ 8T_i+1 = a^2, 8T_j+1 = b^2, 8T_k+1 = c^2</math> (לשם הנוחות מגדירים <math>\ T_0 = 0</math>). נציב בשוויון ונקבל:
| |||