הפרדוקס של ראסל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שינוי סדר פסקאות |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 14:
הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, וראסל עצמו בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף איברים בכל דרך לכדי בניה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלו אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, כמו למשל תורת ה[[טיפוס (לוגיקה מתמטית)|טיפוסים]].
בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא [[תורת הקבוצות האקסיומטית]] שפיתחו [[ארנסט צרמלו|צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל|פרנקל]]. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא [[אקסיומת ההפרדה]], המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של '''קבוצה קיימת'''. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל '''מוכיח''' ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת
למעשה פרדוקס זה ופרדוקסים דומים שינו כליל את פני תורת הקבוצות מתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה אוניברסלית, 'קבוצת כל הקבוצות' ותתי קבוצות שלה לתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך [[קבוצה ריקה]] וקבוצות המכילות אותה.
רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח ש[[קבוצת החזקה]] של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של [[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט שהוכיח קנטור]]. לפרטים, ראו [[עוצמה]].
| |||