העתקת מביוס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון נוסחאות |
|||
שורה 5:
==סקירה כללית ותכונות==
כל טרנספורמציית מביוס היא העתקה [[רציפות|רציפה]], [[חד חד ערכית]] ו[[התאמה על|על]] מהמישור המרוכב המורחב לעצמו. הרחבת המישור המרוכב נעשית על ידי הוספת נקודה ב[[אינסוף]] (המישור המורחב נקרא [[הספירה של רימן|ספירת רימן]] ומסומן
<math>\widehat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup\{ \infty\}</math>).
טרנספומרציות מביוס הן [[פונקציה מרומורפית|העתקות מרומורפיות]] בכל <math>\mathbb{C}</math>, ו[[פונקציה הולומורפית|הולמורפיות]] בכל ספירת רימן. הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית
<math> T \left ( \frac{-d}{c} \right ) = \infty, T(\infty)=\frac{a}{c}</math>.
במקרה שבו <math> \ c = 0 </math> הפונקציה היא פשוט לינארית ומוגדרת על כל <math> \widehat {\mathbb{C}}</math> כאשר <math> \ T(\infty)=\infty</math>.
* הרכבה של טרנספורמציות מביוס היא גם טרנספורמציית מביוס, ולכן טרנספורמציות מביוס מהוות [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], וחבורת טרנספורמציות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעתים <math>\mbox{Aut}(\widehat {\mathbb
* כל טרנספורמציות מביוס היא [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]], ולכן [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]], כלומר שומרת זוויות.
* טרנספורמציית מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב <math>\mathbb{C}</math> למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר. ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(<math>\widehat {\mathbb{C}}</math>). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים ב <math>\widehat {\mathbb{C}}</math>, כאשר ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי טרנספורמציית מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.
* טרנספורמציית מביוס שומרת על [[יחס כפול|היחס הכפול]]. היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב <math>\mathbb{C}</math> מוגדר כך <math>\ [z_1, z_2, z_3, z_4] = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}</math>, ולכל טרנספורמציית מביוס מתקיים <math>\ [z_1, z_2, z_3, z_4] =[T (z_1), T(z_2), T(z_3), T(z_4)] </math>.
שורה 37:
\end{pmatrix}</math>.
נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את הטרנסמפורמציה - <math>\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}</math>. בנוסף, הדרישה <math> \ ad-bc \ne 0</math> היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות טרנספורמציות עם [[טרנספורמציה לינארית|טרנספורמציות לינאריות]] מ <math>\mathbb{C}^2</math> ל <math>\mathbb{C}^2</math>, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, <math>\ \mbox{Aut}(\widehat {\mathbb
<math>\ \operatorname{PGL_2}</math> היא [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] ההפיכות, [[חבורת מנה|מודולו]] המטריצות הסקלריות).
| |||