ויקיפדיה

עקבה (אלגברה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 3:
== עקבה ב[[אלגברה לינארית]]==
 
ה'''עִקבָה''' (trace) של [[מטריצה ריבועית]] היא סכום האיברים ב[[אלכסון ראשי|אלכסון הראשי]] של ה[[מטריצה]]. אם רכיבי המטריצה שייכים ל[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, אז העקבה היא פונקציה <math>\ \mathrm{tr}: M_n(F)\rightarrow F</math>, המוגדרת לפי <math>\ \mathrm{tr}(A) = A_{11}+\cdots+A_{nn}</math>. העקבה היא [[העתקה לינארית]]: <math>\ \mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)</math> ו- <math>\ \mathrm{tr}(\alpha A)=\alpha \mathrm{tr}(A)</math>.
 
העקבה מאפשרת להגדיר [[תבנית בילינארית]] <math>\ M_n(F) \times M_n(F) \rightarrow F</math> לפי הנוסחה <math>\ (A,B) \mapsto \mathrm{tr}(AB)</math>, וזוהי תבנית סימטרית: <math>\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)</math>. קיומה של תבנית כזו הופך את אלגברת המטריצות ל[[אלגברת פרובניוס]].
 
מתכונת הסימטריות אפשר להסיק גםנובע שאם P [[מטריצה הפיכה]], אז <math>\ \mathrm{tr}(PAP^{-1})=\mathrm{tr}(A)</math> לכל מטריצה A. במלים אחרות, לשתי מטריצות [[מטריצות דומות|דומות]] יש אותה עקבה. למעשה, העקבה של מטריצה בגודל <math>\ n\times n</math> מופיעה כמקדם של <math>\ \lambda^{n-1}</math> ב[[פולינום אופייני|פולינום האופייני]] <math>\ f_a(\lambda)=\det(\lambda I - A)</math>, ולכן עובדה זו היא מקרה פרטי של העובדה שלמטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני.
 
מן הסימטריות נובע גם שלכל n מטריצות <math>\ A_1,\dots,A_n</math> ולכל i מתקיים <math>\ \mathrm{tr}(A_1\dots A_n) = \mathrm{tr}(A_{i+1}\dots A_n A_1 \dots A_i)</math>.
תוצאה נוספת של הסימטריות היא שלכל המטריצות מהצורה <math>\ AB-BA</math>, כלומר, [[קומוטטור|קומוטטורים חיבוריים]], יש עקבה אפס. מצד שני, אפשר להוכיח שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה כולל את כל הקומוטטורים. אוסף זה של מטריצות מהווה [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה|פשוטה]] (ביחס לפעולת הקומוטטור) - הדוגמה הקלה ביותר לאלגברות ממשפחה זו.▼
 
▲תוצאה נוספת של הסימטריות היא שלכל המטריצות מהצורה <math>\ AB-BA</math>, כלומר, [[קומוטטור|קומוטטורים חיבוריים]], יש עקבה אפס. מצד שני, אפשר להוכיח שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה כולל את כל הקומוטטורים. אוסף זה של מטריצות מהווה [[אלגברת לי]] [[אלגברת לי פשוטה|פשוטה]] (ביחס לפעולת הקומוטטור) - הדוגמה הקלה ביותר לאלגברות ממשפחה זו.
זהות נוספת לעקבה היא ה[[ציקליות]] שלה: <math>\mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(CAB) = \mathrm{Tr}(BCA)</math> וניתן להכלילה לכל מספר סופי כלשהו של מטריצות. תוכנה זו ניתנת להוכחה אם רושמים את הביטוי ברכיבים, למשל:
: <math>\mathrm{Tr}(ABC) = \sum_{ijk} A_{ij} B_{jk} C_{ki} = \sum_{ijk} C_{ki} A_{ij} B_{jk} = \mathrm{Tr}(CAB) </math>
כאשר השתמשנו בהגדרה של [[כפל מטריצות]] וברישום של העקבה כ-<math>\mathrm{Tr}(D) = \sum_{i} D_{ii}</math>.
 
== עקבה ב[[תורת גלואה]] ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/עקבה_(אלגברה)"