הבדלים בין גרסאות בדף "מספר זוגי"

הוסרו 4,902 בתים ,  לפני 9 שנים
שחזור לגרסה 11472460
(שחזור לגרסה 11472460)
 
== תכונות אריתמטיות ==
סכום של שני מספרים זוגיים, או של שני מספרים אי־זוגיים, הוא זוגי. הסכום של מספר זוגי ומספר אי־זוגי הוא אי־זוגי. המכפלה של מספר זוגי בכל מספר שלם היא זוגית. המכפלה של שני מספרים אי־זוגיים היא אי־זוגית. כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.
 
[[סימני התחלקות|סימני החלוקה]]:
* מספר הנתון ב[[הצגה עשרונית]] הוא זוגי [[אם ורק אם]] [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו זוגית (כלומר, שווה ל־ 0, 2, 4, 6 או 8).
* עובדה זו נכונה בכל [[בסיס (אריתמטיקה)|בסיס]] זוגי: המספר זוגי אם ורק אם ספרת האחדות זוגית. הסיבה לכך היא שכל ספרה שמעל לספרת האחדות תורמת כפולה של הבסיס, ולכן אינה משפיעה על הזוגיות.
* ב[[שיטתבבסיס ספירה|בסיס]] אי־זוגיאי-זוגי, מספר הוא זוגי אם ורק אם סכום ספרותיו זוגי (בדומה למבחן ההתחלקות ב־ב-[[9 (מספר)|9]] וב־וב-[[3 (מספר)|3]] בבסיס עשרוני).
 
המספר [[2 (מספר)|2]] הוא המספר הזוגי היחיד מבין [[אינסוף]] ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] (כל השאר הם [[מספר אי-זוגי|אי־זוגיים]]). [[השערת גולדבך]], שהיא [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיה פתוחה]] ב[[תורת המספרים]], טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתים ניתן להצגה כ[[סכום]] של שני [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].
 
== תמצות החוקיות המתמטית במספרים זוגיים ==
סכום של שני מספרים זוגיים, או של שני מספרים אי־זוגיים, הוא זוגי. הסכום של מספר זוגי ומספר אי־זוגי הוא אי־זוגי. המכפלה של מספר זוגי בכל מספר שלם היא זוגית. המכפלה של שני מספרים אי־זוגיים היא אי־זוגית. כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] (במספר טבעי גדול מאפס) של מספר זוגי היא זוגית, וכל חזקה (במספר טבעי) של מספר אי־זוגי היא אי־זוגית.
 
'''להלן חוקי הזוגיות והסבר האקסיומה לגבי מספרים זוגיים בהרחבה:'''
 
== חוקי הזוגיות ==
=== חיבור ===
* זוגי + זוגי = זוגי
'''הסבר:''' כל מספר זוגי יכול להתחלק לזוגות מספרים, לכן הוספה של עוד מספר שיכול להתחלק לזוגות תיצור מספר שגם הוא יהיה ניתן להיות מחולק לזוגות.
* אי־זוגי + אי־זוגי = זוגי
'''הסבר:''' בחלוקה של המספר נשארת שארית 1, חיבור של 2 מספרים שבהן שארית 1 תהפוך למספר זוגי, כי 2 השאריות יתחברו לזוג.
* אי־זוגי + זוגי = אי־זוגי
'''הסבר:''' בדומה למצב הקודם, יש כאן מספר שמתחלק עם שארית, אך אין לו משלים של השארית לזוג, לכן התוצאה תישאר אי־זוגית.
=== כפל ===
מצבי הכפל מבוססים על החיבור (מכיוון שכפל מבוסס על פעולת החיבור).
* אי־זוגי * זוגי = זוגי
'''הסבר:''' אם נחלק את הפעולה למספר הנכפל והמספר הכופל, המספר המוכפל מחובר מספר פעמים כמספר הכופל, שהוא מספר זוגי, לכן זוגי + זוגי = זוגי, בכל זוג שנחבר.
מגיעים למצב שבו נדרשים שוב לחבר את כל הזוגות (בלולאה). כל חיבור של מספר זוגי יוביל למספר זוגי, לכן התוצאה הסופית תהיה זוגית.
* זוגי * זוגי = זוגי
'''הסבר:''' זהה למצב הקודם. יחוברו מספר מסויים של פעמים מספרים זוגיים, לכן אין זה משנה אם המספר הנכפל הוא זוגי או אי־זוגי. במצב ההפוך שבו המספר הנכפל הוא אי־זוגי בכל חיבור של זוג הוא מושלם ע"י השארית 1 בשתי הזוגות.
* אי־זוגי * אי־זוגי = אי־זוגי
'''הסבר:''' כאן בכל החיבורים למעט האחרון נוצר מספר זוגי, ובחיבור האחרון המספר נהפך לאי־זוגי.
כל מספר אי־זוגי שמחובר אם זוגי יניב תוצאה זוגית, אך מספר הפעמים שבו יחוברו המספרים הוא אי־זוגי. החיבור האחרון נותן מספר אי־זוגי.
 
המספר [[2 (מספר)|2]] הוא המספר הזוגי היחיד מבין [[אינסוף]] ה[[מספר ראשוני|מספרים הראשוניים]] (כל השאר הם [[מספר אי-זוגי|אי־זוגיים]]). [[השערת גולדבך]], שהיא [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיה פתוחה]] ב[[תורת המספרים]], טוענת כי כל מספר זוגי גדול משתים ניתן להצגה כ[[סכום]] של שני [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].
== הסבר האקסיומה: ספרת היחידות בבסיס העשרוני של כל מספר זוגי תהיה גם היא זוגית ==
את המספר ניתן לחלק לספרות, כאשר לכל ספר משקל שונה המבוטא באמצעות חזקה של המיקום בו היא נמצאת (ספרת היחידות היא <math>10^0</math>, ספרת העשרות היא <math>10^1</math>, ספרת המאות היא <math>10^2</math> וכן הלאה). לכן, אם ניקח לדוגמא מספר תלת ספרתי המיוצג בצורה הבאה: <math>\overline {xyz}</math>, נוכל לפרק אותו בצורה הבאה: <math>x*10^2+y*10^1+z*10^0</math>. מכאן ניתן לראות שעל כל מספר מבוצעות מספר פעולות חשבוניות: חזקה, כפל וחיבור. החזקה מתבצעת תמיד בבסיס קבוע – 10, שהוא זוגי, במעריך של מספר כלשהו – תוצאה זו תמיד תניב תוצאה זוגית, כיוון שתוצאת מספר זוגי בכל מספר היא זוגית. לאחר מכן נעשה הכפל עם הספרה, שגם היא פועלת לפי אותו חוק זוגיות. לאחר מכן נותר החיבור, שבו כל המספרים שנעשה בהם כפל בחזקה שבה המעריך אינו 0 קיבל תוצאה חד משמעית שהיא זוגית. הנותר הוא הכפל בחזקה של מעריך 0, שנותן את התוצאה 1 (לפי חוק מתמטי הנובע מהעובדה שאפשר להציג את <math>a^0</math> בצורה הבאה: <math>\ a^{-n}=a^{0-n}=\frac{a^0}{a^n}=\frac{1}{a^n}</math> (לפי [[חוקי חזקות|חוקי החזקות]], צמצום הערכים הזהים במונה ובמכנה נותן את התוצאה 1), שמכפלה בה אינה משנה את ערך הגורם המוכפל או את מצב זוגיותו, לכן ערכו ומצב זוגיותו יכריע את זוגיות המספר. במידה והוא זוגי – חיבור הערכים שהצטברו עד כה שהינם זוגיים איתו יתנו תוצאה זוגית לפי חוק הזוגיות – זוגי + זוגי = זוגי, אם המספר אי־זוגי, לפי חוק הזוגיות אי־זוגי + זוגי = אי־זוגי התוצאה כולה תהיה אי־זוגית.
 
{{קצרמר|מתמטיקה}}