השערת הרצף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ r2.5.2) (בוט מוסיף: lmo:Ipòtesi dal cuntínü |
|||
שורה 10:
בשנת [[1935]] פיתח [[קורט גדל]] את מושג ה[[אקסיומת הבנייה|קבוצות הניתנות לבנייה]], ושנתיים אחר-כך, ב-[[1937]], הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]] ובתוספת [[אקסיומת הבחירה]]) [[עקביות_(לוגיקה)|עקבית]], אז ה[[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף [[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאית]] במסגרת תורת הקבוצות- אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] (Forcing).
=== גרסאות שקולות ===
ב-1943 הוכיחו [[פאול ארדש]] ושיזו קקוטני {{הערה|On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 457–461.}} שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן כוללת [[תלות (אלגברה לינארית)|קבוצה בלתי תלויה]] מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה <math>\ x+y=z+u</math> לא קיים פתרון מונוכרומטי במספרים שונים זה מזה.
==השערת הרצף המוכללת==
| |||