משפט ארו – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Not even wrong
שורה 15:
מבחינת שני הקריטריונים נובע כי חוקה שמכתירה '''דיקטטור''' – אדם מסוים שהדירוג האישי שלו נקבע להיות הדירוג הקיבוצי – היא '''חוקה הוגנת'''. מעשית, אפשר לשער שחוקה כזו לא תחשב למוצלחת במיוחד, וטבעי להאמין שקיימות דרכים אחרות לשקלול הצבעות כך שיעמדו בקריטריונים הנ"ל ל'''חוקה הוגנת'''. משום כך, התקבל משפט ארו בהפתעה רבה:
:'''משפט ארו''': לא קיימת חוקה הוגנת לבחירה בין שלוש אפשרויות או יותר, שאיננה בחירה על-ידי דיקטטור.
 
===דוגמה===
 
נניח כי שלושה חברים: אבי, בני וגלית מעוניינים להזמין [[פיצה]]. באפשרותם לבחור רק אחת מבין שלוש תוספות: [[פטריות]], [[זית|זיתים]] או [[תירס]]. כמו כן, יכול להיות שחלק מהתוספות אזלו, ושלא ניתן להזמין אותם. שלושת החברים מעוניינים לגבש סדר העדפות מסוים, שיבטא את העדפותיהם.
 
חתך ההעדפות של השלושה הוא כזה:
 
<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" border="1"
! אבי
! בני
! גליה
|-
| פטריות
| תירס
| תירס
|-
| תירס
| זיתים
| פטריות
|-
| זיתים
| פטריות
| זיתים
|}
</div>
כל עמודה בטבלה משקפת את סדר ההעדפות האישי של אחד החברים.
 
נסתכל על מספר שיטות לשקלול ההעדפות של החברים:
* '''[[סדר לקסיקוגרפי|סידור אלפביתי]]''': ניתן לקבוע את סדר ההעדפות של הקבוצה לפי סדר הופעת שמות התוספות במילון, כלומר:
<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" border="1"
! שקלול
|-
| זיתים
|-
| פטריות
|-
| תירס
|}
</div>
:שיטה זו אינה מוצלחת, כי היא מתעלמת מרצונותיהם של החברים. בפרט, היא לא עונה על ההגדרה של "שיטה הוגנת", כי היא לא משקפת את הקונצנזוס שבין החברים, לפיו תירס עדיף על זיתים.
* '''שיטת הבחירה היחידה''': ניתן לקבוע את סדר ההעדפות של הקבוצה לפי האפשרות הרצויה ביותר בעיני כל פרט. כך, מאחר ששני חברים בחרו בתירס כאפשרות המועדפת עליהם, ואחד בחר בפטריות, סדר ההעדפות המשוקלל יהיה:
<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" border="1"
! שקלול
|-
| תירס
|-
| פטריות
|-
| זיתים
|}
</div>
:שיטה זו אמנם נתפסת לרוב כהוגנת במשמעות הטבעית של המילה, אך היא לא עונה על ההגדרה של "שיטה הוגנת", כיוון שאנו מתחשבים רק באפשרות המועדפת '''מבין השלוש''' על כל פרט, ולא בדירוג היחסי של כל שתיים, בניגוד לדרישת האי-תלות של אפשרויות לא רלוונטיות.
* '''דיקטטורה (של אבי)''': אבי, שבידיו ה[[טלפון]], יכול לבצע את ההזמנה לפי רצונותיו, בלי להתחשב בחבריו כלל:
<div style="text-align: center;">
{| class="wikitable" border="1"
! שקלול
|-
| פטריות
|-
| תירס
|-
| זיתים
|}
</div>
:שיטה זו נתפסת לרוב כשיטה לא הוגנת במשמעות הטבעית של המילה, אך היא עונה על ההגדרה של "שיטה הוגנת".
 
לפי משפט ארו, השיטה ה"הוגנת" '''היחידה''' היא לפעול תוך התחשבות באחד החברים, תוך התעלמות מרצונותיהם של האחרים.
 
==הוכחת המשפט==