אוריינטציה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 8:
==הגדרה==
נסמן את המימד הסופי, במרחב הוקטורי הממשי, ב''V'', ונסמן ב ''b''<sub>1</sub> וב''b''<sub>2</sub>, כשני בסיסים סדורים של ''V''. תוצאה ידועה ב[[אלגברה לינארית]] היא שקיים [[העתקה לינארית|העתק לינארי]] ''A'': ''V''→''V'' שהופך את ''b''<sub>1</sub> ל''b''<sub>2</sub>. יוצא מכך, שלבסיסים ''b''<sub>1</sub> ו''b''<sub>2</sub> יש את אותה אוריינטציה אם ל''A'' יש [[דטרמיננטה]] חיובית, ואוריינטציה הפוכה אם אין לו. התכונה, שיש להם את אותה אוריינטציה, מגדירה [[יחס שקילות]] על המערכת של כל הבסיסים הסדורים של ''V''. אם ''V'' שונה מאפס, קיימים בדיוק שני חוגי שקילות שמוגדרים ע"י היחסים הנ"ל. אוריינטציה על ''V'' היא העברה של 1+ לחוג שקילות אחד ו−1 לשני.{{הערה| Rowland, Todd. "Vector Space Orientation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html}}
כל בסיס סדור נמצא בחוג שקילות כזה או אחר. בהתאם לכך, כל בחירה של בסיס סדור מועדף עבור ''V'' קובעת אוריינטציה: חוג האוריינטציה של הבסיס המועדף מוכרז כחיובי. לדוגמא, [[הבסיס הסטנדרטי]] על '''R'''<sup>''n''</sup> מספק אוריינטציה סטנדרטית על '''R'''<sup>''n''</sup> (במקרים אחרים, האוריינטציה של הבסיס הסטנדרטי תלויה באוריינטציה של [[מערכת צירים קרטזית|מערכת הצירים הקרטזית]] שעליה הוא בנוי). כל בחירה של [[איזומורפיזם]] לינארי בין ''V'' ל'''R'''<sup>''n''</sup>, במקרה כזה, תספק אוריינטציה על ''V''.
סדר האלמנטים על הבסיס הוא מכריע. שני בסיסים עם סידור שונה יהיו שונים זה מזה בכמה [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]]. מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא חתימת התמורה שלהם (אם היא 1+ או −1). זאת בגלל שהדטרמיננטה של [[מטריצה|מטריצת]] התמורה שווה לחתימה של התמורה הנלווית.
באופן דומה, נסמן את ''A'' כמיפוי לינארי א-סינגולרי של המרחב הוקטורי '''R'''<sup>''n''</sup> עד '''R'''<sup>''n''</sup>. מיפוי זה הוא "שימור אוריינטציה" אם הדטרמיננטה שלו היא חיובית.{{הערה| Weisstein, Eric W. "Orientation-Preserving." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Orientation-Preserving.html}} לדוגמא, ב'''R'''³, סיבוב מסביב לציר ה''Z'' הקרטזי בזווית של ''α'', הוא "שימור אוריינטציה".
::<math>
\bold {A}_1 = \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
בעוד ששיקוף במישור הקרטזי ''XY'' הוא לא "שימור אוריינטציה".
::<math>
\bold {A}_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
</math>
== הערות שוליים ==
| |||