פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

נוכיח שנקודות אי-הרציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי x מספר רציונלי, אז <math>\ f(x) \neq 0</math>, אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-x, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן ש-x היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח ש-x אי-רציונלי, ויהי <math>\ \epsilon>0</math>. בקטע באורך יחידה סביב x יש רק מספר סופי של נקודות שבהן <math>\ f(t)\geq \epsilon</math> (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב x שבו <math>\ |f(t)-f(x)| = f(t)<\epsilon</math>, {{רווח|6}} ומכאן ש-<math>\ f</math> רציפה בנקודה x.