משפט ליוביל (קירוב דיופנטי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שש"מ |
|||
שורה 11:
==הוכחת המשפט==
'''משפט:''' לכל <math>\ \alpha</math> אי-רציונלי שהוא שורש של פולינום <math>\ f</math> ממעלה <math>\ n</math>, קיים <math>\ A</math> חיובי כך שלכל <math>\ p</math> ו-<math>\ q>0</math> שלמים, <math>\ \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert > \frac{A}{q^n} </math>.
'''
:<math>0< A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right) </math>
נניח בשלילה כי קיים <math>\ p/q</math> הסותר את
: <math> \left\vert \alpha - \frac{p}{q} \right\vert \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left\vert \alpha - \alpha_1 \right\vert, \left\vert \alpha - \alpha_2 \right\vert, \ldots , \left\vert \alpha-\alpha_m \right\vert \right) </math>
לכן <math>\ p/q</math> נמצא בקטע <math>\ [\alpha-1,\alpha+1]</math> (ההפרש בינו לבין <math>\ \alpha</math> קטן מ-1) והוא אינו שורש של <math>\ f</math> ואין אף שורש כזה בינו לבין <math>\ \alpha</math> (ההפרש בינו לבין <math>\ \alpha</math> קטן מההפרש של <math>\ \alpha</math> מכל שורש והוא לא שווה ל-<math>\ \alpha</math> כי <math>\ \alpha</math> אי-רציונלי).
שורה 33 ⟵ 31:
נציב זאת בשוויון הקודם שקיבלנו:
:<math>\ \left\vert \alpha - p/q \right\vert = \left\vert f(p/q) / f'(x_0) \right\vert \ge 1/(q^n|f'(x_0)|) \ge 1/(Mq^n) > A/q^n \ge \left\vert \alpha - p/q \right\vert </math>
האי-שוויונות נובעים מהגדרת <math>\ M</math> ו-<math>\ A</math>. הגענו לסתירה ולכן ההנחה שגויה
'''
'''הוכחה:'''
==מספרי ליוביל==
| |||