החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
מ (ממד)
אין תקציר עריכה
ב[[תורת החבורות]], החבורה הלינארית הכללית ממעלה <math>\ n</math> מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>, היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] בעלות <math>\ n</math> שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה <math>\ F</math>, יחד עם פעולתביחס ל[[כפל מטריצות|פעולת הכפל]] של מטריצות. זוהי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שהאיבר הנייטרלי שלה הוא מטריצת היחידה. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. [[תת חבורה]] של החבורה הלינארית הכללית נקראת '''חבורה לינארית''' או בפשטות [[חבורת מטריצות]]. שיכון של חבורה מסוימת בתוך החבורה הלינארית הכללית נקרא [[הצגה לינארית]] של החבורה.
 
את החבורה הלינארית הכללית ניתן להגדיר באופן שקול כאוסף [[העתקה לינארית|ההעתקות הלינאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] <math>\ V</math> מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] <math>\ n</math> מעל השדה <math>\ F</math> היות שכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם איזומורפיים, ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הלינארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ V</math> ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ GL_n (F)</math> או <math>\ GL(n,F)</math>, וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - <math>\ GL(V)</math>.
 
המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הלינאריות, כגון קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הלינארית המיוחדת, <math>\ SL_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הלינארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ SL_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ GL_n (F)</math>, והיא בעצמה [[חבורה מושלמת]] אלא אם כן <math>\ n=2</math> והשדה <math>\ F</math> הוא בגודל 2 או 3.
 
החבורה הלינארית הכללית אינה [[חבורה אבלית|אבלית]], כל עוד <math>\ n</math> איננו 1. כאשר <math>\ n=1</math>, החבורה הלינארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה <math>\ F</math>.