הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←ההוכחה |
|||
שורה 23:
ייתכנו שתי תוצאות לתהליך: אפשרות ראשונה היא כי בשלב כלשהו התהליך ייעצר כי לא יימצאו בסדרה שני מספרים ששייכים לפנימו של קטע מסדרת הקטעים. במקרה כזה מתקבל קטע סופי <math>\ [a_N, b_N]</math> שאין אף איבר סדרה בפנימו מלבד אולי איבר אחד, וכל מספר בפנים הקטע מלבדו בהכרח לא מופיע בסדרה.
אפשרות שנייה היא כי התהליך לא ייעצר לעולם. במקרה כזה קיים [[גבול של סדרה|גבול]]: <math> A = \lim_{n \to \infty}a_n</math> כי זוהי [[סדרה מונוטונית]] עולה ו[[סדרה חסומה|חסומה]]. בשלב זה יכול היה קנטור לסיים את ההוכחה בהבחנה כי לכל n>1, <math>\ A</math> נמצא בקטע <math>\ [a_n,b_n]</math> בעוד ש-<math>\ x_n</math> אינו בקטע הזה, ולכן <math>\ A \neq x_n</math>. במקום זאת מפצל קנטור את המקרה הזה לשני תת-מקרים:
קנטור מגדיר את <math> B = \lim_{n \to \infty}b_n</math>.
| |||