הבדלים בין גרסאות בדף "עקביות (לוגיקה)"

אם יש מודל, יש עקביות
(אם יש מודל, יש עקביות)
כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].
 
לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל ([[משפט השלמות של גדל]], 1930). עם זאת, ישנן מודליםתורות שבמסגרתםשבמסגרתן לא ניתן להראות עקביות. דוגמה לכך היא [[תורת המספרים]] (המילה "תורה" כאן שונה במשמעותה מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר ולהסתמך על תורות אחרות. [[משפט האי שלמות השני]] של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.
 
== ראו גם ==