משפט קושי (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

<math> A=\{(g_1g_0,g_2g_1,...,g_pg_{p-1})|g_0g_1\prodcdots g_ig_{p-1}=e\}</math>

מכיוון שלכל בחירה שרירותית של p-1 האברים הראשונים ניתן למצוא הפכי, גודל הקבוצה הוא <math>\ |A|=|G|^{p-1}</math>, ולכןהמתחלק ב-p מחלק את גודל הקבוצה. אנו למעשה רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה A מהצורה <math>\ (g,g,...,g)</math>. על ידי הכפלה משמאל באיבר <math>g_p</math> ומימיןהצמדה ב -<math>\ g_p^g_{p-1}</math>, קל לראות ש <math>\ g_1g_2g_0g_1...g_pg_{p-1}=e</math> [[אם ורק אם]] <math>\ g_pg_1g_2g_{p-1}g_0g_1...g_{p-12}=e</math>. לכן, נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את A ל[[יחס שקילות|מחלקות שקילות]], כך ששני אברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני.

ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור <math>\ (g_1g_0,g_2g_1,...,g_pg_{p-1})</math> הוא ראשוני. לכן, גודל כל מחלקת שקילות חייב להיות p או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של n צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של 2n צעדים, 3n צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש p ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב n צעדים. זאת מכיוון שלכל <math>\ m<p</math> קיים <math>a\in\mathbb{Z}</math> כך ש <math>\ a=m \ (\mbox{mod } p)</math> (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר ב[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] <math>\mathbb{Z}_p</math> יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה <math>\ (g,g,...,g)</math>