פונקציית דלתא של דיראק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יונה בנדלאק (שיחה | תרומות) מ ←ההגדרה השימושית: קישורים פנימיים |
MathKnight (שיחה | תרומות) ←תכונות: הרחבה |
||
שורה 60:
== תכונות ==
# באמצעות [[החלפת משתנים]] ב[[שיטות אינטגרציה|אינטגרציה]] ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>
: באופן כללי יותר:▼
#: הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם <math>-a</math> כארגומנט הפונקציה. כעת,
:: <math>\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>▼
#: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)</math> כאשר ביצענו את החלפת המשתנים <math>y=ax</math>.
: <math>▼
::כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:
▲:: <math>
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx
= \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}
</math>
: כאשר x<sub>i</sub> הם ה[[שורש (של פונקציה)|שורשים]] של g, כלומר: <math>\ g(x_i)=0</math>.
* מכאן נובע: <math>\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x}</math>.
* כמו כן: <math>\delta^{(n)}[\phi] = (-1)^n \phi^{(n)}(0)\,</math>.
:<math>\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-ikx}\,dk</math>
| |||