פונקציית דלתא של דיראק – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) ←תכונות: הרחבה |
MathKnight (שיחה | תרומות) ←תכונות: הרחבה, עריכה |
||
שורה 61:
== תכונות ==
# באמצעות [[החלפת משתנים]] ב[[שיטות אינטגרציה|אינטגרציה]] ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>▼
#: הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם <math>-a</math> כארגומנט הפונקציה. כעת,▼
▲
#: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)</math> כאשר ביצענו את החלפת המשתנים <math>y=ax</math>.▼
▲
▲
#: <math>\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>▼
:: <math>▼
כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx
= \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}
</math>
: הוכחה: מאחר שבכל [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] בו <math>g(x) \neq 0</math> האינטגרל <math>\int_I f(x) \delta( g(x)) dx = 0</math> אפשר להפריד את האינטגרל לסדרה אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx</math>
: מאחר שהקטעים קטנים מאוד, אפשר בכל קטע ל[[קירוב|קרב]] את g על ידי [[קירוב לינארי]]: <math>g(x) = g'(x_i)(x-x_i)</math>. נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>, נקבל
: <math>\sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g'(x_i)(x-x_i)) dx = \sum_{i} \frac{1}{|g'(x_i)|} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (x-x_i) dx = \sum_i \frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}</math>
עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית הדלתא באמצעות [[אינטגרציה בחלקים]] ולקבל ש : <math>\delta'[\phi] = -\phi'(0)\,</math>.
| |||