מודול (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

 

בדרך כלל, אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הפעולה של כפל בסקלר מימין אינה הופכת את M למודול ימני מעל אותו חוג, משום שתנאי האסוציאטיביות אינו מתקיים. אם R חוג קומוטטיבי, בעיה זו נעלמת: מעל חוגים כאלה, כל מודול שמאלי הוא גם ימני (ולהיפך); למעשה, כל מודול שמאלי או ימני הוא בימודול מעל R. במקרה הכללי, המעבר בין מודולים שמאליים וימניים מערב את [[החוג המנוגד]] <math>\ R^{op}</math> של R, שהוא בעל אותו מבנה חיבורי, עם הכפל ההפוך <math>\ x^{op}y^{op}=(yx)^{op}</math>. אם M הוא מודול שמאלי מעל R, אז הוא גם מודול ימני מעל <math>\ R^{op}</math>, אם מגדירים את הפעולה החדשה לפי הנוסחה <math>\ m\cdot x^{op} = xm</math>. עם זאת, M איננו בימודול מעל הזוג <math>\ R,R^{op}</math>.

 

==תורת מבנה==

 

המבנה של מודולים מעל [[תחום שלמות|תחומים ראשיים]] מהווה דוגמה חשובה. כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי <math>\ R</math> אפשר לכתוב באופן יחיד כסכום ישר של מודולים ציקליים <math>\ R/d_iR</math>, כאשר <math>\ d_1|...|d_n</math>. ממשפט זה אפשר לקבל כמקרים פרטיים את המשפט היסודי על מיון של [[חבורה אבלית|חבורות אבליות]] נוצרות סופית, וגם את פירוק ז'ורדן של מטריצות.

 

=== ראו גם ===