משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

[[משוואה דיפרנציאלית לינארית|משוואה לינארית]] הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גםהם הואפתרונות פתרוןבעצמם, ועל כןולכן, הפתרונות מהווים [[מרחב וקטורי]], לכן ניתןוניתן למצוא בסיס למרחב זה,. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים [[תלות לינארית|בלתי תלויים]] של המשוואה, כך ש'''כל''' פתרוןצירוף שללינארי המשוואהשלהם יכולמהווה להיכתבבעצמו כצירוףפתרון לינארי שלהםשל.

כאשר הפונקציות <math>\ p(x),q(x)</math> הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה <math>\ y''+ay'+by</math>, קיימים פתרונות למשוואההמשוואה הם מהצורה <math>\ e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\ \lambda</math> הוא [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של ה[[פולינום]] <math>\ x^2+ax+b</math> (פולינום זה מכונה '''הפולינום האופייני של המשוואה'''). אם ישלפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, <math>\ xe^{\lambda x}</math> הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם [[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]], ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם <math>\ \lambda\pm i\mu</math> הם השורשים, מקבלים את הפתרונות <math>\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)</math>.