|
ב[[אלגברה]], איבראיברים שונהשונים מאפס a,b של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] נקראשמכפלתם היא אפס נקראים '''מחלקמחלקי אפס שמאלי''' אם קיים. איבר b<math>\ שונהa מאפס כך ש-ab =\neq 0.</math> בצורה דומה מוגדרנקרא '''מחלק אפס ימני'''. מחלקאם אפסקיים שהוא<math>\ גםb ימני\neq וגם0</math> שמאליכך נקראש- בפשטות<math>\ ab = 0</math>, ובדומה לזה b הוא '''מחלק אפס שמאלי'''. אם החוג ב[[קומוטטיביות|חוג קומוטטיבי]], כל המושגיםמושגים האלהאלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא [[תחום (מבנה אלגברי)|תחום]], וחוג כזה שהוא גםותחום קומוטטיבי נקרא [[תחום שלמות]]. לדוגמא, ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אין מחלקי אפס.
==דוגמהדוגמאות ==
נביט בחוג ה[[מטריצה|מטריצות]] מסדר <math>\ 2\times 2</math> מעל [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] עם החיבור והכפל הסטנדרטיים. נשים לב כי
<math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math>.
על1. נביט בחוג ה[[מטריצה|מטריצות]] מסדר <math>\ 2\times 2</math> מעל [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]]. מכיוון כןש- <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math> היא\begin{bmatrix}1 מחלק& אפס0 שמאלי\\0 & 0 ו<math>\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math>, היא מחלק אפס ימני.
<math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math> הוא מחלק אפס שמאלי ו<math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math> היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].
2. כל [[אידמפוטנט]] e שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים x בחוג כך ש-<math>\ ex-x \neq 0</math>, ואז <math>\ e(ex-x)=ex-ex=0</math>). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.
==משפטים הנוגעים למחלקי אפס==
===איברי יחידה של תת-חוג===
'''משפט'''
== ראו גם ==
אם <math>\ R</math> חוג, <math>\ S\subseteq R</math> תת-חוג שלו, בעל [[איבר יחידה]] <math>\ 1_S\ne 0</math>. אם איבר יחידה זה אינו איבר היחידה של <math>\ R</math> (אם בגלל שאיבר היחידה של <math>\ R</math>, <math>\ 1_R</math>, שונה ממנו, ואם בגלל של<math>\ R</math> אין איבר יחידה) אז <math>\ 1_S</math> הוא מחלק אפס ב<math>\ R</math>.
* [[מאפס]]
'''הוכחה'''
* [[תחום (אלגברה)|תחום]]
אם ל<math>\ R</math> יש איבר יחידה <math>\ 1_R\ne 1_S</math> אז נשים לב שמתקיים <math>\ 1_R\cdot 1_S=1_S</math>, כי איבר היחידה של החוג כפול כל איבר אחר נותן את האיבר האחר.
כמו כן מתקיים <math>\ 1_S\cdot 1_S=1_S</math>, כי איבר היחידה של <math>\ S</math> כפול כל איבר אחר מתוך <math>\ S</math> (ובפרט הוא עצמו) נותן את האיבר האחר.
לכן קיבלנו <math>\ 1_R\cdot 1_S=1_S\cdot 1_S</math> ולאחר העברת אגפים והוצאת גורם משותף נקבל <math>\ (1_R-1_S)\cdot 1_S=0</math>. מכיוון ש<math>\ 1_R\ne 1_S</math> הרי ש<math>\ 1_R-1_S\ne 0</math> ולכן בהכרח <math>\ 1_S</math> הוא מחלק אפס.
אם ל <math>\ R</math> אין איבר יחידה, בפרט <math>\ 1_S</math> אינו איבר יחידה של החוג כולו, ולכן בלי הגבלת הכלליות קיים <math>\ x\isin R</math> כך ש<math>\ 1_S\cdot x\ne x</math>, כלומר: <math>\ 1_S\cdot x-x\ne 0</math>.
כעת נביט בביטוי <math>\ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x)</math>. לאחר פתיחת סוגריים נקבל:
<math>\ 1_S\cdot(1_S\cdot x-x)=1_S^2\cdot x-1_S\cdot x=1_S\cdot x-1_S\cdot x=0</math>. ובגלל ש<math>\ 1_S\cdot x-x\ne 0</math> נקבל שבהכרח <math>\ 1_S</math> מחלק אפס.
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
| 