הוכחה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←ראו גם |
מ ←השערה: אי אפשר להפריך בעייה |
||
שורה 27:
==השערה==
טענות לא מעטות דרשו מאות רבות של שנים עד להוכחתן או להפרכתן. דוגמאות לכך הן [[המשפט האחרון של פרמה]] שזכה להוכחה כשלוש מאות וחמישים שנה לאחר שהועלה, ו[[שלוש הבעיות של ימי קדם]],
האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? ברור שהאקסיומות אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה. אם נוכיח שהשערה מסוימת אינה ניתנת להוכחה ואף לא להפרכה, כפי שהוכח לגבי [[השערת הרצף]], נוכל לצרף את ההשערה הזו (או את שלילתה) לאוסף האקסיומות שלנו. האם בדרך זו נוכל להרחיב את אוסף האקסיומות, כך שנגיע למצב שבו כל טענה תהיה ניתנת להוכחה או להפרכה? תשובה לשאלה זו ניתנה בשנת 1931 במסגרת [[משפט אי השלמות של גדל]]: במתמטיקה (ולמעשה בכל דיסציפלינה עקבית - שהנחותיה ניתנות לזיהוי מכני ("אפקטיבי") - ושמניחה את האריתמטיקה של החיבור ושל הכפל), תמיד תהיינה השערות אשר מחד גיסא ניתנות לניסוח בשפתה של הדיסציפלינה, ואשר מאידך גיסא אינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה במסגרת אותה דיסציפלינה.<br />
| |||