שדה המספרים המרוכבים – הבדלי גרסאות

יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת ל[[ג'ירולמו קרדאנו]], שנעזר בהם כדי לפתור את ה[[משוואה ממעלה שלישית]]. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי [[רפאל בומבלי]]. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. [[דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של [[לאונרד אוילר|אוילר]] ו[[קרל פרידריך גאוס|גאוס]].

 

 

את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ \mathbb{R}^2</math> של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], עם פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] המוגדרות לפי <math>\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)</math> ו- <math>\ (x,y)\times(a,b)=(xa-yb,xb+ya)</math>. המבנה המתקבל הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], ש[[איבר נייטרלי|איבר האפס]] שלו הוא <math>\ (0,0)</math>, ואיבר היחידה הוא <math>\ (1,0)</math>. לכל מספר <math>\ (x,y)</math> יש נגדי, <math>\ (-x,-y)</math>, ואם המספר שונה מאפס יש לו [[איבר הופכי]], <math>\ \frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}</math>. הזוגות מהצורה <math>\ (x,0)</math> מקיימים <math>\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)</math> ו- <math>\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)</math>, ולכן ההתאמה <math>\ x\mapsto (x,0)</math> מהווה [[שיכון של שדות|שיכון]] של [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] בשדה החדש.

לפי הגדרת הכפל, האיבר <math>\ i = (0,1)</math> של השדה החדש מקיים <math>\ i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1</math>, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון [[זרם]], משתמשים ב-<math>\ j</math> כתחליף).

 

 

ההצגה של מספר מרוכב בצורה <math>\ z = x+iy</math>, הנקראת '''ההצגה הקרטזית''', מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית <math>\ i^2=-1</math>: <math>\ (a_1+ib_1) \cdot (a_2+ib_2)=a_1a_2 + ia_1b_2 + ib_1a_2 + i^2 b_1b_2=a_1a_2 - b_1b_2 + i(a_1b_2+b_1a_2) </math>.