אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קטנות |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 6:
== אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
יהי H [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור לינארי <math>\ A : H \rightarrow H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* : H \rightarrow H</math>, לפי החוק <math>\ \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math> (את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>,
[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] v של A עם ערך עצמי <math>\ \lambda</math>, מתקיים <math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>, ולכן <math>\ \lambda</math> ממשי. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
| |||