הבדלים בין גרסאות בדף "אופרטור הרמיטי"

== אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
 
יהי H [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור לינארי <math>\ A : H \rightarrowto H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* : H \rightarrowto H</math>, לפי החוק <math>\ \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math> (את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמא, אם H הוא [[מרחב הילברט]] ו-A [[אופרטור לינארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-A '''צמוד לעצמו'''.
: <math>\ \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math>
(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמא, אם H הוא [[מרחב הילברט]] ו-A [[אופרטור לינארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-A '''צמוד לעצמו'''.
 
[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] v של A עם [[ערך עצמי]] <math>\ \lambda</math>, מתקיים <math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>, ולכן <math>\ \lambda</math> ממשי. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
:<math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, A v \rang= \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>,
ולכן <math>\ \lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
 
==אופרטורים על מרחב סופי==
משתמש אלמוני