הבדלים בין גרסאות בדף "אופרטור הרמיטי"

נוספו 1,971 בתים ,  לפני 9 שנים
(←‏דוגמאות: mathrm{d})
 
== אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
 
=== הגדרה ===
 
יהי H [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור לינארי <math>\ A : H \to H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* : H \to H</math>, לפי החוק
: <math>\ (1) \quad \quad \quad \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math>
(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמא, אם H הוא [[מרחב הילברט]] ו-A [[אופרטור לינארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-A '''צמוד לעצמו'''.
 
ב[[אנליזה פונקציונלית]], יש המבחינים בין המונח "הרמיטי", התקף לכל אופרטור המקיים את (1), לבין אופרטור "צמוד לעצמו", שמקיים בנוסף <math>\mathrm{dom} A^* = \mathrm{dom} A</math> (במקרה הכללי מתקיים <math>\mathrm{dom} A^* \supset \mathrm{dom} A</math>).
 
=== תכונות ===
 
אוסף האופרטורים הלינאריים החסומים מעל H עם הפעולות של חיבור נקודתי, [[כפל בסקלר]] נקודתי, הרכבה של אופרטורים והצמדה הרמיטית מגדירים מבנה שנקרא [[אלגברת סי כוכב]] או אלגברה *C.
# <math> {( A^* )}^*=A </math>
# <math>\ (A + B)^*=A^* + B^* </math>
# <math> ( \lambda A )^*=\lambda^* A^*=\overline{\lambda} A^* </math>
# <math>\ (AB)^*=B^* A^* </math>
 
[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] v של A עם [[ערך עצמי]] <math>\ \lambda</math>, מתקיים
:<math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, A v \rang= \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>,
ולכן <math>\ \lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
 
אם נגדיר [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] [[נורמה אופרטורית|אופרטורית]] על ידי
: <math>(2) \quad \quad \quad \| A \| _{op} :=\sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \} </math>
אזי
: <math> \| A^* \| _{op}=\| A \| _{op} </math>.
יתרה מכך,
: <math>(3) \quad \quad \quad \| A^* A \| _{op}=\| A \| _{op}^2 </math>
יש לשים לב ש-<math>A^* A</math> אופרטור הרמיטי שכן <math>(A^* A)^* = A^* (A^*)^* = A^* A</math>, ובאופן דומה גם <math>A A^*</math> הוא הרמיטי. בתוספת עובדה זו מסקנה (3) הופכת לשימושית, שכן <math>A^* A</math> ניתן ללכסון אוניטרי ולכן
: <math>\| A \|_{op} = \sqrt{ \| A^{*} A \|_{op} } = \sqrt{ \max \{ | \lambda | \in \mathbb{R} \ | \ \lambda \mbox{ is eigenvalue of } A^*A \} }</math>
דבר המקל על חישוב הנורמה האופרטורית, שכן במקרה זה הנורמה של A נקבעת על ידי [[ערך עצמי|הערך העצמי]] המקסימלי של <math>A^* A</math>.
 
==אופרטורים על מרחב סופי==