הבדלים בין גרסאות בדף "אופרטור הרמיטי"

לא רלוונטי לכאן
(סיבוך מיותר)
(לא רלוונטי לכאן)
 
== אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
 
=== הגדרה ===
 
יהי H [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור לינארי <math>\ A : H \to H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* : H \to H</math>, לפי החוק
: <math>\ (1) \quad \quad \quad \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math>
(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמא, אם H הוא [[מרחב הילברט]] ו-A [[אופרטור לינארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-A '''צמוד לעצמו'''.
 
=== תכונות ===
 
אוסף האופרטורים הלינאריים החסומים מעל H עם הפעולות של חיבור נקודתי, [[כפל בסקלר]] נקודתי, הרכבה של אופרטורים והצמדה הרמיטית מגדירים מבנה שנקרא [[אלגברת סי כוכב]] או אלגברה *C, שכן מתקיים:
# <math> {( A^* )}^*=A </math>
# <math>\ (A + B)^*=A^* + B^* </math>
# <math> ( \lambda A )^*=\lambda^* A^*=\overline{\lambda} A^* </math>
# <math>\ (AB)^*=B^* A^* </math>
 
 
[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] v של A עם [[ערך עצמי]] <math>\ \lambda</math>, מתקיים