הבדלים בין גרסאות בדף "אופרטור הרמיטי"

(לא רלוונטי לכאן)
ולכן <math>\ \lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
 
כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה <math>\ A = \frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)</math>. מחצית הסכום <math>\ A+A^*</math> היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות <math>\ AA^*</math> ו- <math>\ A^*A</math> תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: <math>\ \|AA^*\|=\|A\|\|A^*\|=\|A\|^2</math>, כאשר <math>\ \|A\|</math> מסמן את ה[[נורמה של אופרטור|נורמה]] של A כאופרטור.
אם נגדיר [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] [[נורמה אופרטורית|אופרטורית]] על ידי
: <math>(2) \quad \quad \quad \| A \| _{op} :=\sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \} </math>
אזי
: <math> \| A^* \| _{op}=\| A \| _{op} </math>.
יתרה מכך,
: <math>(3) \quad \quad \quad \| A^* A \| _{op}=\| A \| _{op}^2 </math>
יש לשים לב ש-<math>A^* A</math> אופרטור הרמיטי שכן <math>(A^* A)^* = A^* (A^*)^* = A^* A</math>, ובאופן דומה גם <math>A A^*</math> הוא הרמיטי. בתוספת עובדה זו מסקנה (3) הופכת לשימושית, שכן <math>A^* A</math> ניתן ללכסון אוניטרי ולכן
: <math>\| A \|_{op} = \sqrt{ \| A^{*} A \|_{op} } = \sqrt{ \max \{ | \lambda | \in \mathbb{R} \ : \ \lambda \mbox{ is an eigenvalue of } A^*A \} }</math>
דבר המקל על חישוב הנורמה האופרטורית, שכן במקרה זה הנורמה של A נקבעת על ידי [[ערך עצמי|הערך העצמי]] המקסימלי של <math>A^* A</math>.
 
==אופרטורים על מרחב סופי==