אינטגרל לא אמיתי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ptbotgourou (שיחה | תרומות) מ r2.7.2) (בוט מוסיף: de:Uneigentliches Integral |
|||
שורה 10:
תהא <math>f\,</math> פונקציה המוגדרת בקטע <math>[a,b)\,</math> ובלתי חסומה שם. אם <math>f\,</math> [[אינטגרל|אינטגרבילית רימן]] בכל קטע סגור החלקי לקטע <math>[a,b)\,</math> ואם קיים הגבול <math>\lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f(x)dx\,</math>, אז נאמר כי <math>f\,</math> '''אינטגרבילית במובן המוכלל''' בקטע <math>[a,b)\,</math> והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של <math>f\,</math> בקטע <math>[a,b)\,</math> וסימונו יהיה <math>\textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx\,</math>. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה '''מתכנס'''. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא '''מתבדר'''.
'''דוגמה:''' יהי <math>a>0\,</math>. באמצעות [[שיטות אינטגרציה]] ניתן להוכיח כי <math>\int_{0}^{a} {{dx} \over {x^{t}}}</math> מתכנס אם ורק אם <math>t>1\,</math>. באותו אופן <math>\int_{0}^{a} {{dx} \over {x^{t}}}</math> מתבדר אם ורק אם <math>t
====אינטגרביליות בהחלט====
תהא <math>f\,</math> פונקציה המוגדרת בקטע <math>[a,b)\,</math> ובלתי חסומה שם. אם <math>f\,</math> אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע <math>[a,b)\,</math> ואם האינטגרל <math>\textstyle \int_{a}^{b} \left|f(x)\right|dx</math> מתכנס, אז נאמר ש-<math>f\,</math> אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל <math>\textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx</math> '''מתכנס בהחלט'''. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).
| |||