חבורה אבלית חופשית – הבדלי גרסאות

הקבוצה <math>\ S=\{e_1,e_2,e_3,e_4,...\}</math> היא '''בסיס''' לחבורה האבלית <math>\ G</math> כאשר כל איבר ב-<math>\ G</math> אפשר לכתוב בדרך אחת ויחידה כצירוף לינארי של מספר סופי של איברים ב-<math>\ S</math> מעל [[מספר שלם|המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math>, ז"א שלכל איבר יש יצוג יחיד מהצורה <math>\ g = e_1^{n_1} e_1 + e_2^{n_2} e_2 + e_3^{n_3} e_3... \in G</math> כאשר <math>n_i \in \mathbb{Z}</math>. הבסיס <math>\ S </math> אינו חייב להיות [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]].

לדוגמה, אם ניקח בסיס בעל שני אלמנטים <math>\ S=\{e_1,e_2\}</math> אז איברי החבורה שנוצרת ממנו יהיו <math>g_{n_1,n_2} = n_1e_1 +e_1^{n_1} e_2^{n_2 e_2}</math>. אפשר בקלות לראות שמדובר בחבורה [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפית]] ל-<math>\ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>.