|
|
|
}}
[[משתנה מקרי]] בדיד ה[[התפלגות|מפולג]] בינומית מתאר את מספר ההצלחות בסדרה של n [[ניסויי ברנולי]] בלתי תלויים כאשר. ההסתברות לקבלת ל"הצלחה" היאבניסוי pיחיד (אלהמסומנת כ-p, נקראיםוההסתברות ל"כישלון"[[ניסוי ברנולי|ניסוייהיא ההסתברות ברנולי]]"המשלימה (p - {{כ}}1). מסמנים משתנה מקרי X כמפולג בינומית על ידי הסימוןבסימון
<math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math>
, וההסתברות לקבלת k הצלחות לאחר ב-n הניסוייםניסויים (<math>k=0,1,\ldots,n</math>) היא:
<math>
P\left(X=k\right)
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}
</math>, כאשר "ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]]" <math>\ \binom{n}{k}</math> הוא מספר הדרכים לבחור את ל-k ההצלחותהצלחות מ-מתוך n הניסוייםניסויים. כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש <math>\ n!</math> (סימן הקריאה מייצג את פונקציית ה[[עצרת]]) דרכים לסדר את n הניסויים. לאותה מסקנה אפשר להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כשלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש <math>\ k!</math> דרכים לעשות זאת), ואת הכשלונותהכישלונות (<math>\ (n-k)!</math> דרכים). מכאן ש- <math>\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!</math>, ולכן <math>\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}</math>.
מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע מ[[מקדמי הבינום]] שבהגדרתה.
|
