התפלגות בינומית – הבדלי גרסאות

כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש <math>\ n!</math> (סימן הקריאה מייצג את פונקציית ה[[עצרת]]) דרכים לסדר את n הניסויים. לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כשלונותכישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש <math>\ k!</math> אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש <math>\ (n-k)!</math> אפשרויות סידור). מכאן ש- <math>\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!</math>, ולכן:

:: <math>\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}</math>.

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה שישאחת בהשל k הצלחות במקומות '''מסוימים''' היא <math>\ p^k(1-p)^{n-k}</math>, שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות <math>\ p</math>) ובולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, <math>\ 1-p</math>).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות '''כלשהם''' שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא <math>\ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}</math>, כאשר <math>\ t</math> הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור מתוך n מקומות את k המקומות שבהם יהיו ההצלחותהצלחות מתוך כלל n המקומות. ב[[קומבינטוריקה]] מוכיחים כי מספר זה הוא בדיוק <math>\ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.