מספרים זרים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
ההסתברות לזרות |
||
שורה 20:
עבור כל שני מספרים זרים n ו- m מתקיים שכל אחד מהם זר לכל העלאה בחזקה של האחר (לדוגמה, n זר ל-m<sup>3</sup>), וכן מתקיים שכל אחד מהם זר לסכומם n+m.
==ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים==
==הכללות==▼
נסמן ב-<math>P_N</math> את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (ב[[התפלגות אחידה]]) יהיו זרים. אז כאשר N שואף לאינסוף <math>P_N</math> שואף ל-<math>\frac{6}{\pi^2}\approx 0.61</math>. על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא <math>\frac{6}{\pi^2}</math> (הסיבה שעברנו דרך גבול של הסתברויות היא שבלתי אפשרי לבחור שני מספרים טבעיים לא חסומים בהתפלגות אחידה).
המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד). המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם. הסיכוי שראשוני <math>p</math> מחלק כל אחד מהם היא <math>1/p</math>, ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם היא <math>1/p^2</math>. מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם היא <math>1-1/p^2</math>. לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו [[תלות (הסתברות)|בלתי תלויים]] (מכיוון שמספר מתחלק בשני ראשוניים שונים אם ורק אם הוא מתחלק במכפלה שלהם). מכאן שההסתברות שאין ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם. כלומר ההסתברות היא:
: <math>\prod_p \left(1-\frac{1}{p^2}\right)</math>
כאשר המכפלה עוברת על כל הראשוניים. קיבלנו את ההופכי של [[מכפלת אוילר]] של [[פונקציית זטא של רימן]] בנקודה <math>s=2</math>, ולכן ההסתברות שווה ל-<math>1/\zeta(2)</math>. לפי הפתרון של [[בעיית בזל]], ערך זה שווה ל-<math>\frac{6}{\pi^2}</math>.
▲==הכללות==
ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] כלליים, לטענה שאיברים a ו- b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר לא [[איבר הפיך|הפיך]] שמחלק את שניהם, או שאין [[אידאל (אלגברה)|אידאל]] שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידאל <math>\langle a,b\rangle</math> שווה לכל החוג). האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, וב[[תחום ראשי|תחומי אידאלים ראשיים]] הן מתלכדות.
| |||