סכום של שני ריבועים – הבדלי גרסאות

 

פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-[[1670]] קובץ הערות על הספר "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" של דיופנטוס, התייחס גם ל[[משוואה]] <math>\ a^2+b^2=n</math>. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם <math>\ n=p^k</math> ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק <math>\ [\frac{k+1}{2}]</math> פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים.

 

ב- [[1747]], במכתב ל[[גולדבך]], הוכיח [[לאונרד אוילר]] שאם a ו- b [[מספרים זרים|זרים]], אז כל גורם של <math>\ a^2+b^2</math> ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", [[1770]]) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה המרוכבת]] של המכפלה <math>\ (a+b\sqrt{-1})(c+d\sqrt{-1})</math>. היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית <math>\ x^2+y^2</math> בעזרת ה[[חוג אוקלידי|אוקלידיות]] של [[חוג השלמים של גאוס]], <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math>.