הבדלים בין גרסאות בדף "הרחבת גלואה"

נוספו 459 בתים ,  לפני 8 שנים
הרחבה
(הרחבה)
'''הרחבת גלואה''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה נורמלית|נורמלית]] ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]]. הרחבות כאלו הן [[אבן פינה|אבן הפינה]] של [[תורת גלואה]], משום שיש להן [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]] מן הסדר המקסימלי האפשרי, המקנות להן סימטריה מלאה. [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] מספק התאמה מלאה בין שדות הביניים בהרחבה, לבין תת-החבורות בחבורת גלואה של ההרחבה.
 
הרחבת שדות K/F היא הרחבת גלואה אם ורק אם F הוא [[שדה שבת|שדה השבת]] החלקי ל-K של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] כל ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]] של K מעל F. אם נסמן חבורה זו ב-<math>G_{K/F}</math> אזי <math>F = K^{G_{K/F}}</math>.
 
כל [[שדה פיצול]] של פולינום ספרבילי הוא הרחבת גלואה, וכל הרחבת גלואה סופית היא שדה הפיצול של פולינום מתאים.
 
כל הרחבת שדות ספרבילית אפשר להמשיך להרחבת גלואה, הנקראת '''סְגור גלואה''' של ההרחבה המקורית.
 
אם K/F היא הרחבת גלואה אזי <math>| \mathrm{Gal}(K/F) | = \left[ K : F \right]</math>.
 
== דוגמאות ==