ויקיפדיה

הרחבה נורמלית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Xqbot (שיחה | תרומות)
141,081 עריכות
מ r2.7.3) (בוט מוסיף: es, fr, it, pl, pt, ru, uk, zh
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
'''הרחבה נורמלית''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] [[הרחבה אלגברית|אלגברית]] <math>\ F \subseteq K</math> של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]], כך שכל [[פולינום אי-פריק]] מעל השדה הקטן שיש לו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] בשדה הגדול, מתפצל שם. הרחבה של שדות היא [[הרחבת גלואה|גלואה]] אם ורק אם היא נורמלית ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]]. תת-הרחבות נורמליות בהרחבת גלואה מאופיינות בכך שחבורות האוטומורפיזמים המתאימות להן הן [[תת-חבורה נורמלית|נורמליות]] ב[[חבורת גלואה]] של ההרחבה.
'''הרחבה נורמלית''' היא [[הרחבת שדות|הרחבה]] של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדות]] שבמובן מסוים שומרת על כל השורשים של הפולינומים בתוך ההרחבה.
 
== הגדרה ==
 
[[הרחבה אלגברית]] K של F תיקראהיא '''הרחבה נורמלית''' של F (או "נורמלית מעל F") אם מתקיימת התכונה הבאה: לכלכל [[פולינום]] אי-פריק <math>\ f(x) \in F[x]</math> שיש לו [[שורש (של פונקציה)|שורש]] ב-K, הוא מתפצל לחלוטין ב-K, כלומר:, כלהוא שורשיומהווה הםמכפלה של גורמים לינאריים מעל ב-K.
 
יהי F [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ויהי <math>\bar{F}</math> ה[[סגור אלגברי|הסגורסגור האלגברי]] שלו. נניחהתנאים הבאים שקולים עבור תת-שדה <math>\ F \subset K \subset \bar{F}</math>, אזי התנאים הבאים שקולים:▼
== תכונות ==
 
=== תנאים שקולים לנורמליות ===
 
▲יהי F [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ויהי <math>\bar{F}</math> [[סגור אלגברי|הסגור האלגברי]] שלו. נניח <math>F \subset K \subset \bar{F}</math>, אזי התנאים הבאים שקולים:
# K/F היא הרחבה נורמלית של שדות.
# K הוא [[שדה פיצול]] של קבוצת פולינומים ב-<math>\ F[x]</math>.
# כל [[פולינום מינימלי]] מעל F של איבר מ-K, מתפצל לחלוטין ב-K.
# לכל [[אוטומורפיזם]] <math>\sigma</math> ב[[חבורת גלואה האבסולוטית]] -<math>\ \operatorname{Gal}(\bar{F}/F)</math> מעל F, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# לכל [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] <math>\sigma</math> של K ב-<math>\bar{F}</math> מעל F, מתקיים <math>\sigma (K) = K</math>.
# חבורת גלואה האבסולוטית של K [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] בחבורת גלואה האבסולוטית של F.
# לכל איבר <math>a \in K</math>, כל איבריו הצמודים <math>\{ b \in K | \exist \tau : \bar{F} \to \bar{F} : \tau (a) = b \}</math> (כאשר <math>\tau</math> הוא [[אוטומורפיזם]]) שייכים גם הם ל-K.
 
== תכונות של הרחבות נורמליות ==
 
הרחבת שדות היא [[הרחבת גלואה]] אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. לכן מעל שדות ממאפיין אפס, כל הרחבה נורמלית היא הרחבת גלואה, והדבר מאפשר להפעיל שם את [[המשפט היסודי של תורת גלואה]] ביתר קלות.
=== תכונות נוספות ===
 
אם <math>L \supset K \supset F</math> הרחבות של שדות, ו-L היא הרחבה נורמלית של F, ו-K הוא שדה ביניים, אזיאז L היאנורמלית גםמעל הרחבהכל נורמליתשדה של Kביניים.
 
אם K ו-E הן הרחבות נורמליות של F המוכלות ב-L אז ה[[צירוף שדות|צירוף]] שלהם EK (מסומן גם <math>E(K)=K(E)=F(K \cup E)</math>) וה[[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] שלהם <math>K \cap E</math> הם הרחבות נורמליות של F.
 
[[המשפט היסודי של תורת גלואה]] אומר שאםאם E/F [[הרחבת גלואה]] (אזי היא בפרט הרחבה נורמלית ו[[הרחבה ספרבילית|ספרבילית]]) ו[[חבורת גלואה]] שלה היא <math>G = \mathrm{Gal}(E/F)</math>, ואם <math>E \supset K \supset F</math> שדה ביניים, מתאימה לו לפי המשפט היסודי של תורת גלואה [[תת-חבורה]] <math>H = \mathrm{Gal}(E/K)</math> של G. והיאתת-חבורה זו היא [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]] של G אם ורק אם K/F היא הרחבה נורמלית של שדות.
 
== דוגמאות ==
שורה 31 ⟵ 29:
# ההרחבה <math>\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2}] / \mathbb{Q}</math> אינה נורמלית, שכן מתוך שלושת השורשים של הפולינום האי-פריק <math>x^3 - 2</math> רק השורש ה[[מספר ממשי|ממשי]] <math>\sqrt[3]{2}</math> נמצא בשדה ההרחבה ואילו שני השורשים הנותרים <math>\omega \sqrt[3]{2} , \omega^2 \sqrt[3]{2} \in \mathbb{C}</math> (כאן <math>\omega = \exp( i 2 \pi / 3) = \frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}</math>) הם [[מספרים מרוכבים]] ולכן לא שייכים ל-<math>\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2} ] \subset \mathbb{R}</math> שהיא הרחבה ממשית.
# עבור p [[מספר ראשוני]], ההרחבה <math> \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] / \mathbb{Q}</math> כאשר <math>\zeta_p</math> הוא [[שורש יחידה]] p-י [[איבר פרימיטיבי|פרימיטיבי]], היא הרחבה נורמלית ממעלה <math>\left[ \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] : \mathbb{Q} \right] = p(p-1)</math>. זהו [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום האי-פריק <math>x^p - 2</math>.
# כל [[הרחבת גלואה]] היא הרחבה נורמלית (לפי ההגדרה של הרחבת גלואה).
 
[[קטגוריה:תורת השדות]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/הרחבה_נורמלית"