מספר משולשי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 50:
נעביר את n אגף ונחלק ב-2:
:<math>\ T_n = \frac{n^2+n}2 = \frac{n(n+1)}2</math>
===הוכחה באמצעות טור טלסקופי===
נשים לב לשיוויון הבא: <math>\ n=\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2}</math>. אם נציב שיוויון זה במקום n יתקבל הטור הטלסקופי שלהלן:
<math>\ 1+2+3+...+n = \left(\frac{1*2}{2}-\frac{1*0}{2}\right)+\left(\frac{2*3}{2}-\frac{2*1}{2}\right)+...+\left(\frac{(n-1)n}{2}-\frac{(n-1)(n-2)}{2}\right)+\left(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}\right)</math>. שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום שווה ל-
<math>\ -\frac{1*0}{2}+\left(\frac{1*2}{2}-\frac{2*1}{2}\right)+\cdots + \left(\frac{(n-1)n}{2}-\frac{n(n-1)}{2}\right)+\frac{n(n+1)}{2} = 0 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}</math > כמבוקש.
===הוכחה באינדוקציה===
| |||