חבורה יסודית – הבדלי גרסאות

נניח כי ''X'' הוא [[מרחב טופולוגי]] וכי <math>\,x_0 \in X </math>. [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] <math>\,f:[0,1]\rightarrow X</math> תיקרא '''לולאה''' עם '''נקודת בסיס''' <math>\,x_0</math> אם מתקיים <math>\,f(0) = f(1) = x_0 </math>.

בהינתן 2 לולאות <math>\, f,g:[0,1]\rightarrow X</math> עם נקודת בסיס <math>\,x_0</math>, נאמר ש-''f'' ו-''g'' הן [[הומוטופיה|הומוטופיות]] אם קיימת פונקציה רציפה <math>\,h:[0,1] \times [0,1] \rightarrowto X</math> כך שלכל <math>\, t\in [0,1]</math> מתקיים ש-<math>\, h(t,0) = f(t) \ , \ h(t,1)=g(t)</math>, וכמו כן <math>\, h(0,t)=h(1,t)=x_0</math>. במקרה זה, ''h'' תיקרא הומוטופיה בין ''f'' ל-''g''. היחס שהגדרנו מהווה [[יחס שקילות]] על קבוצת כל הלולאות על ''X'', ומחלקות השקילות מהוות את איברי החבורה היסודית של ''X'' ביחס לנקודת הבסיס <math>\, x_0</math>. מבחינה אינטואיטיבית, ניתן לראות בפרמטר השני של הפונקציה ''h'' פרמטר המתאר את הזמן, כך שבזמן 0 אנו נמצאים בלולאה ''f'', בזמן 1 בלולאה ''g'', ובדרך אנו עוברים בצורה רציפה (דרך לולאות עם נקודת בסיס <math>\, x_0</math>) מ-''f'' אל ''g'', כך שניתן להפוך את ''f'' ל-''g'' בצורה רציפה.

בהינתן זוג מחלקות שקילות של לולאות ביחס להומוטופיה <math>\,[f], [g]</math>, נבחר נציגים <math>\,f\in [f]</math> ו- <math>\,g\in[g]</math>. נגדיר את <math>\,f*g</math> להיות הלולאה שבה קודם "מטיילים" ב-''f'', ולאחר מכן "מטיילים" ב-''g''. באופן פורמלי, עבור <math>0 \le t \le \frac{1}{2}</math> נגדיר <math>\,(f*g)(t) = f(2t)</math> (כלומר עוברים דרך המסלול של ''f'' ב"מהירות כפולה), ועבור <math>\frac{1}{2}\le t\le 1</math> נגדיר <math>\,(f*g)(t)=g(2t-1)</math> (כלומר עוברים דרך המסלול של ''g'' ב"מהירות כפולה"). לבסוף, נגדיר <math>\,[f]*[g] = [f*g]</math>. קל להראות שעבור נציגים אחרים לאותן מחלקות הומוטופיה, <math>f' \in [f],g' \in [g]</math> מתקיים <math>\,f'*g'\in [f*g]</math>. כלומר, על אף שהרכבה של נציגים שונים נותנת מסילות שונות, כל ההרכבות נופלות באותה מחלקת שקילות הומוטופית. לכן פעולת ההרכבה משרה [[פעולה בינארית]] על מחלקות השקילות של המסילות. לא קשה להראות שפעולה זו אכן יוצרת מבנה של חבורה. האיבר הנייטרלי הוא הפונקציה הקבועה <math>\,f(t) = x_0</math> (כלומר: נקודה - הלולאה הטריוויאלית), וההופכי ללולאה ''f'' מוגדר על ידי <math>\,f^{-1}(t) = f(1-t)</math> - כלומר "מטיילים" לאורך ''f'' בכיוון ההפוך.

חבורה זו נקראת '''החבורה היסודית של ''X'' עם נקודת בסיס <math>\, x_0</math>''', והיא מסומנת ב

<math>\, \pi_1(X,x_0)</math>

למרות שלכאורה החבורה היסודית תלויה בבחירת נקודת הבסיס <math>\, x_0</math>, מתברר כי אם ''X'' [[קשירות מסילתית|קשיר מסילתית]], אז החבורה היסודיות המתאימות לנקודות בסיס שונות הן [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיות]].