עקום אליפטי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MathKnight (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
MathKnight (שיחה | תרומות) מ עיצוב |
||
שורה 9:
[[תמונה:ECexamples01.png]]
עקומים אליפטיים ניתנים להגדרה מעל כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ''K''; ההגדרה הפורמלית של עקום אליפטי הוא: [[עקום אלגברי]] [[מרחב פרויקטיבי|פרויקטיבי]], לא סינגולרי, מעל ''K'' מ[[גנוס (גאומטריה אלגברית)|גנוס]] 1, עם נקודה קבועה המוגדרת מעל ''K''. בפרט, עקום אליפטי מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] הוא [[משטח רימן]] קומפקטי.
אם ה[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של ''K'' אינו 2 או 3, הרי שכל עקום אליפטי מעל K אפשר להביא (על ידי העתקה רציונלית) לצורה הבאה:
שורה 15:
כאשר ''p'' ו-''q'' הם אברים של ''K'', כך שלחלק הימני של המשוואה הזו אין אף שורש כפול. אם המאפיין הוא 2 או 3, הצורה הכללית קצת שונה.
לרוב לוקחים את העקום להיות קבוצת כל הנקודות {{משמאל לימין|(''y'',''x'')}} אשר מקיימות את המשוואה לעיל , וכך שגם ''x'' וגם ''y'' הם אלמנטים ב[[סגור אלגברי של שדה|
על ידי הוספת נקודה "באינסוף", אנו משיגים את הגרסה הפרויקטיבית של עקום זה. אם ''P'' ו-''Q'' הן שתי נקודות על העקום, הרי שקיימת נקודה שלישית אחת ויחידה אשר מהווה את החיתוך בין העקום לבין הקו הישר העובר בין ''P'' ל-''Q''. אם הקו הישר משיק לעקום בנקודה כלשהי, הרי שנקודה זו נספרת פעמיים, ואם הקו הישר מקביל לציר ה-''y'', אנו מגדירים את הנקודה השלישית "באינסוף". בדיוק אחד מן המצבים הללו מתקיים לכל זוג של נקודות על עקום אליפטי.
[[תמונה:ECClines.svg]]
ניתן להגדיר [[פעולה בינארית]] על העקום, שתסומן ב"+", עם התכונות הבאות:
אנו מתייחסים לנקודת האינסוף כאפס, כלומר
את החבורה הזו ניתן לתאר הן בצורה אלגברית והן בצורה גאומטרית. בהינתן העקום <math>y^2_{} = x^3 - p\cdot x - q</math> מעל השדה ''K'' (אשר המאפיין שלו שונה מ-2 ו-3), ונקודות <math>P=\left(x_P, y_P\right)</math> ו-<math>Q=\left(x_Q, y_Q\right)</math> על העקום, נניח תחילה כי <math> x_{P} \neq x_{Q} </math>. יהי <math>s = \frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}</math>. כיוון ש-''K'' שדה, ''s'' מוגדר היטב. לכן נוכל להגדיר <math> R = P + Q = \left( x_R , y_R \right)</math> על ידי:
שורה 47:
המוגדרת על ידי
: <math>\varphi(z) = (\wp(z), \wp'(z))</math>
היא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]] של חבורות ושל [[משטח רימן|משטחי רימן]]. דבר זה מתבטא במיוחד מבחינה טופולוגית, כיוון ש-''E'' נראה כמו [[טורוס]] (כיוון שהקבוצה <math> \mathbf{C} / L</math> היא טורוס). אם תת-הקבוצה ''L'' קשורה לתת-הקבוצה ''Lc'' על ידי כפל במספר מרוכב c השונה מאפס, אז העקומים המתאימים הם איזומורפיים. מחלקות איזומורפיזם של עקומים אליפטיים מתוארות על ידי [[קבוע j של עקומים אליפטיים]].
בזמן שהמספר המדויק של הנקודות הרציונליות של עקום אליפטי ''E'' מעל [[שדה סופי|שדות סופיים]] '''F'''<sub>''p''</sub> הוא באופן כללי קשה לחישוב, משפט האסה (Hasse) על עקומים אליפטיים אומר לנו כי:
| |||