שיווי משקל משוכלל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←תכונות: עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
ב[[תורת המשחקים]], '''שיווי משקל משוכלל''' הוא עידון של המושג [[שיווי משקל נאש]] שנהגה ע"י ריינהרד זלטן ב1975. בשיווי משקל משוכלל מניחים שקיימת הסתברות גדולה מ-0 (גם אם קטנה) ששחקן יבחר בטעות באסטרטגיה לא מיטבית.
==
כאשר מניחים שכל השחקנים רציונאליים קיימת בעיה להכליל טעויות של שחקנים לתוך מודל המשחק. אם משוחקת אסטרטגיה לא מיטבית (לא רציונלית) ע"י שחקן כלשהו נשאלת השאלה אם שאר השחקנים צריכים להניח שהשחקן הטועה אינו רציונלי? תשובה חיובית או שלילית לשאלה זו משפיעה כמובן על החלטות השחקנים הנותרים.
על מנת לאפשר לתאר משחקים עם טעויות בלי לוותר על הנחת הרציונליות של השחקנים הציג זלטן את '''עיקרון היד הרועדת''': נניח שקיימת הסתברות מסויימת, קטנה ככל שתהיה, ששחקן יבצע בחירה שגויה ויחד עם זאת נמשיך להניח שפעולות השחקנים רציונליות מיסודן. לדוגמא אפשר לדמיין שחקן שנדרש ללחוץ על אחד משני כפתורי הצבעה בוחר בראשון ובטעות לוחץ על השני. מתוך הגדרת עקרון היד הרועדת הגיע זלטן להגדרת שיוי המשקל המשוכלל.
==הגדרה==
'''משחק עם הפרעות-''' [[משחק בצורה תכסיסית|משחק בצורה אסטרטגית]] שבו מאפשרים רק ל[[אסטרטגיות מעורבות לחלוטין]] להתקיים, משמע כל אסטרטגיה טהורה של כל שחקן משוחקת בהסתברות גדולה מ-0. ההפרעה היא וקטור ההסתברויות המזעריות בהן מותר לשחק כל אסטרטגיה.
פורמלית: יהי <math>\ \ \left( N , S_i , u_i \right) </math> משחק בצורה אסטרטגית. לכל שחקן <math>i\in N</math>
נתון וקטור האילוצים <math>v_i=v_i(s_i))</math>
כך שמתקיים ש-<math>\ v_i>0</math> לכל <math>\ s_i\in S_i</math> ו-<math>\sum_{s_i\in S_i} v_i(s_i)\leq 1</math> לכל
<math>i\in N</math>.
נסמן <math>v=(v_i),i\in N</math> את וקטור האילוצים של כל השחקנים. '''המשחק עם v ההפרעות''' הוא המשחק
<math>\Gamma (v)=(N,\sum_i v_i,u_i)</math> שבו קבוצת האסטרטגיות של שחקן i היא
<math>\Sigma_i (v_i)=\{\sigma_i\in \Sigma_i: \sigma_i(s_i)\geq v_i(s_i), \forall s_i \in S_i\}</math>.
'''שיווי משקל משוכלל-''' [[שיווי משקל נאש]] המתקבל כגבול של שיוויי משקל במשחקים עם הפרעות כאשר גודל ההפרעה המרבית שואף ל-0.
פורמלית: אסטרטגיה מעורבת <math>\sigma</math> במשחק בצורה אסטרטגית <math>\ \ \left( N , S_i , u_i \right) </math> נקראת '''שיווי משקל משוכלל''' אם קיימת סדרה של וקטורי אילוצים/הפרעות <math>v_i</math> המקיימים <math>min(v_i)\leq 0</math> וגם
<math>\lim_{i \to \infty}max(v_i)= 0</math>
ולכל <math>i\in N</math> קיימת נקודת שיווי משקל <math>\sigma_i</math> במשחק <math>\Gamma (v_i)</math> כך שמתקיים
<math>\lim_{i \to \infty}\sigma_i=\sigma</math>
==דוגמא==
במשחק שני השחקנים המוצג בצורה אסטרטגית במטריצה קיימים שני [[שיווי משקל נאש|שיוויי משקל נאש]] באסטרטגריות טהורות- (Up,Left),(Down,Right). נראה שרק (Up,Left) הוא שיווי משקל משוכלל:
| |||