שדה המספרים הניתנים לבנייה – הבדלי גרסאות

לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 ו- 1, ואת שני המעגלים שרדיוסם 1, ומרכזיהם 0 ו- 1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות <math>\ -1, 2, \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}, \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}</math>. כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה.

 

 

תכונה חשובה של השדה S היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת [[שורש (מתמטיקה)|שורש]] (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב-S שורש מ[[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי [[חוצה זווית|חציית זוויות]]). למעשה, S הוא תת-השדה הקטן ביותר של <math>\ \mathbb{C}</math> הסגור להוצאת שורש, כלומר ה[[שדה סגור ריבועית|סגור הריבועי]] של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל [[הרחבת גלואה]] של [[שדה המספרים הרציונליים]] מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] חזקת-2, ולהיפך: הממד של [[סגור גלואה]] של כל תת-שדה מממד סופי של S הוא חזקת-2. ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת 2 (או שאינו [[מספר אלגברי]]), אינו שייך ל-S, ולכן אינו ניתן לבנייה.