ויקיפדיה

הומומורפיזם – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ בוט החלפות
שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=העתקה משמרת ב[[אלגברה]]|אחר=העתקה משמרת ב[[לוגיקה מתמטית]]|ראו=[[הומומורפיזם (לוגיקה)]]}}
ב[[אלגברה]], '''הומומורפיזם''' הוא [[פונקציה]] בין [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם מתרגם תכונות מסויימותמסוימות של המבנה הראשון אל המבנה השני. הומומורפיזם הפיך נקרא '''[[איזומורפיזם]]'''.
 
== דוגמאות ==
* '''הומומורפיזם בין חבורות''' הוא פונקציה <math> \varphi : G \rightarrow H</math> שעבורה <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1)\cdot \varphi (g_2)</math> לכל <math>\ g_1,g_2 \in G</math>. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של <math>\ G</math>, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של <math>\ H</math>. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של G עובר לאיבר היחידה של H, ולכן אין צורך לדרוש תכונה זו במפורש.
* '''הומומורפיזם בין מרחבים ליניארייםלינאריים''' נקרא [[העתקה לינארית]]. זוהי פונקציה מן הוקטוריםהווקטורים של מרחב V מעל שדה F, אל הוקטוריםהווקטורים של מרחב W מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: <math>\ \varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> (לכל שני וקטורים <math>\ v_1,v_2\in V</math>) ו-<math>\ \varphi(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot \varphi(v)</math> (לכל וקטור <math>\ v\in V</math> וסקלר <math>\ \alpha \in F</math>). אותן דרישות, בהחלפת השדה F ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כלשהו R, מגדירות הומומורפיזם בין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל מרחב האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.
# '''הומומורפיזם בין חוגים''' הוא פונקציה <math>\ \varphi : R \rightarrow S</math> (כאשר <math>\ R, S</math> הם [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של R לאיבר היחידה של S. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא [[תחום שלמות]], או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
 
== הגרעין והתמונה ==
 
נניח ש-<math>\ \varphi : A \rightarrow B</math> הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] היא אוסף האברים <math>\ \operatorname{Im}(\varphi)</math> של B המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי A. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הוקטוריםהווקטורים <math>\ \operatorname{Ker}(\varphi)</math> של A העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא ה'''[[גרעין (אלגברה)|גרעין]]''' של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של [[תורת הקטגוריות]].
 
בחבורות, לדוגמאלדוגמה, התמונה היא [[תת-חבורה]] של B, ואילו הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של A.
 
קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה ([[חבורת מנה]], [[חוג מנה]], [[מודול מנה]]), ואז מתקיים [[משפט האיזומורפיזם הראשון]]: <math>\ A/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)</math>.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/הומומורפיזם"