עוצמת הרצף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''עוצמת הרצף''' היא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של קבוצת [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]], קרי <math>|\mathbb R|</math>. עוצמת הרצף מסומנת לרוב באות <math>\!\ \aleph</math>, וכן
רעיון [[האלכסון של קנטור]] מאפשר ל[[הוכחה|הוכיח]] שהמספרים הממשיים אינם [[קבוצה בת מנייה|בני מנייה]], כלומר שעוצמת הרצף גדולה מ[[אלף 0|עוצמת המספרים הטבעיים]] (המסומנת <math>\!\ \aleph_0</math>). ניתן להוכיח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת [[קבוצת החזקה]] של המספרים הטבעיים, כלומר <math>\!\, \aleph=2^{\aleph_0}=\beth_1</math>.
שאלה שהטרידה את המתמטיקאים במשך שנים רבות היא האם עוצמת הרצף היא הקטנה ביותר מלבד עוצמת המספרים הטבעיים?, ההשערה של קנטור, שזכתה לשם "[[השערת הרצף]]", הייתה שהתשובה לשאלה זו חיובית, כלומר: כל [[קבוצה אינסופית]] שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף, כלומר שמתקיים <math>\aleph_1=\beth_1</math>. [[דוד הילברט]] מנה את הבעיה הזו כ[[הבעיה הראשונה של הילברט|ראשונה]] מבין [[23 הבעיות של הילברט|23 הבעיות המפורסמות]] שלו.
אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה [[בעיה פתוחה במתמטיקה|פתוחה]] הוכיח [[קורט גדל]], בשנת [[1940]], שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של תורת הקבוצות (אקסיומות [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]]). בשנת [[1963]] הוכיח המתמטיקאי [[פול כהן]] שהשערת הרצף אינה תלויה במערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. שתי הוכחות אלה פירושן שעל השערת הרצף חל [[משפט אי השלמות של גדל]], כלומר אי אפשר ל[[הוכחה|הוכיחה]] ואי אפשר ל[[הפרכה|הפריכה]], ולכן ה[[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקביות]] של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם לחלופין נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.
| |||