שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) |
|||
שורה 22:
נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> ו-<math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math> שקולות אם ורק אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>|x_n-y_n|<\varepsilon</math>.
<br />
ניתן להראות כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]. [[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math>
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי <math>q</math> מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה <math>\{q\}_{n=1}^\infty</math>.
את פעולות ה[[חיבור]], ה[[חיסור]], ה[[כפל]] וה[[חילוק]] נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
<br />
<math>\{x_n\}_{n=1}^\infty+\{y_n\}_{n=1}^\infty:=\{x_n+y_n\}_{n=1}^\infty</math>
<br />
<math>\{x_n\}_{n=1}^\infty-\{y_n\}_{n=1}^\infty:=\{x_n-y_n\}_{n=1}^\infty</math>
<br />
<math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\cdot\{y_n\}_{n=1}^\infty:=\{x_n\cdot y_n\}_{n=1}^\infty</math>
<br />
<math>\{x_n\}_{n=1}^\infty / \{y_n\}_{n=1}^\infty:=\{x_n / y_n\}_{n=1}^\infty</math> (יש לשים לב למקרים בהם נוצרת חלוקה ב-0)
<br />
בנוסף, את הסדר על איברי הסדרה נגדיר כך: <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty \leq \{y_n\}_{n=1}^\infty</math> אם ורק אם קיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>x_n \leq y_n</math>
<br />
(בכל ההגדרות סימוני הסדרות מתייחסים כמובן לסדרות מייצגות של מחלקות השקילות, וניתן להראות כי אין ההגדרה תלויה בסדרה המייצגת)
ניתן להראות כי ההגדרות הנ"ל אכן הופכות את הקבוצה ל[[שדה סדור שלם]].
<br />
האקסיומה היחידה שאינה נובעת באופן מיידי היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים [[סופרמום]] (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
<br />
תהי <math>S</math> תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי <math>u</math>. נגדיר <math>u_1</math> כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-<math>u</math> (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-<math>S</math> אינה ריקה, קיים מספר רציונלי <math>l_1</math> שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי <math>S</math>. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם <math>a_n=\frac{u_n+l_n}{2}</math> חסם מלעיל אז <math>u_{n+1}=a_n</math> ו-<math>l_{n+1}=l_n</math>, אם הוא אינה חסם מלעיל אז <math>l_{n+1}=a_n</math> ו-<math>u_{n+1}=u_n</math>.
<br />
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הנן סדרות קושי, והסדרות הינן שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-<math>r</math>. קל להראות באינדוקציה כי לכל <math>n</math> טבעי <math>u_n</math> חסם מלעיל ל-<math>S</math> בעוד ש-<math>l_n</math> לא, מעובדה זו נובע כי <math>r</math> חסם מלעיל (לפי ההגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.
נניח כי <math>t</math> מקיים <math>t < r</math>, אז קיים <math>n_0</math> טבעי עבורו <math>t < l_{n_0}</math>, ומכיוון ש-<math>\{l_n\}_{n=1}^\infty</math> מונוטונית עולה נקבל כי לכל <math>n\geq n_0</math> גם מתקיים <math>t < l_n</math>, אך ראינו כבר ש-<math>l_n</math> אינו חסם מלמעלה ולכן <math>t</math> שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלמעלה.
{{מערכות מספרים}}
| |||