הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

הוסרו 6 בתים ,  לפני 8 שנים
מ
בוט החלפות: על ידי, אידאל
מ (בוט החלפות: על ידי, אידאל)
 
==תכונות==
* בחוג נותרי <math>\ R</math>, כל אידאל מכיל מכפלה (סופית) של אידאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידיאליםאידאלים ראשוניים השווה לאפס.
 
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נותרי. זה נובע מכך שהאידאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נותרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נותרי (<math>\ R[x]</math> הינו חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל תמונה הומומורפית <math>\ R'</math> של חוג נותרי <math>\ R</math> היא נותרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נותרי ו-<math>\ I</math> אידאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נותרי. ('''הוכחה''': כל אידיאלאידאל של חוג המנה הוא תמונה של אידיאלאידאל של R, הנוצרת על- ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נותרית.